Integral de (ln(x))/x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{- u}\, du$

      1. que $u = - u$.

         Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- u e^{- u} - e^{- u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(x \right)}}{x} - \frac{1}{x}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{x}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x}+ \mathrm{constant}$