Integral de tan(x)-tan(x)^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \tan^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \tan^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\tan^{2}{\left(x \right)} = \sec^{2}{\left(x \right)} - 1$

      2. Integramos término a término:

         1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

         El resultado es: $- x + \tan{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x - \tan{\left(x \right)}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

   El resultado es: $x - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \tan{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$