Integral de tan(2t) dt

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\tan{\left(2 t \right)} = \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{\cos{\left(2 t \right)}}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cos{\left(2 t \right)}$.

      Luego que $du = - 2 \sin{\left(2 t \right)} dt$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(\cos{\left(2 t \right)} \right)}}{2}$

   Método #2

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}}{\cos{\left(2 t \right)}}\, dt = 2 \int \frac{\sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}}{\cos{\left(2 t \right)}}\, dt$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}}{\cos{\left(2 t \right)}} = \frac{\sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}}{2 \cos^{2}{\left(t \right)} - 1}$

      2. que $u = 2 \cos^{2}{\left(t \right)} - 1$.

         Luego que $du = - 4 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} dt$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

         $\int \left(- \frac{1}{4 u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(2 \cos^{2}{\left(t \right)} - 1 \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(2 \cos^{2}{\left(t \right)} - 1 \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(\cos{\left(2 t \right)} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(\cos{\left(2 t \right)} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$