Integral de (6x^3-x^(7/3)+4)/sqrt(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- 2 u^{\frac{14}{3}} + 12 u^{6} + 8\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u^{\frac{14}{3}}\right)\, du = - 2 \int u^{\frac{14}{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{14}{3}}\, du = \frac{3 u^{\frac{17}{3}}}{17}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6 u^{\frac{17}{3}}}{17}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 12 u^{6}\, du = 12 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12 u^{7}}{7}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 8\, du = 8 u$

         El resultado es: $- \frac{6 u^{\frac{17}{3}}}{17} + \frac{12 u^{7}}{7} + 8 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{6 x^{\frac{17}{6}}}{17} + \frac{12 x^{\frac{7}{2}}}{7} + 8 \sqrt{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(- x^{\frac{7}{3}} + 6 x^{3}\right) + 4}{\sqrt{x}} = - x^{\frac{11}{6}} + 6 x^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{\frac{11}{6}}\right)\, dx = - \int x^{\frac{11}{6}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{11}{6}}\, dx = \frac{6 x^{\frac{17}{6}}}{17}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6 x^{\frac{17}{6}}}{17}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 x^{\frac{5}{2}}\, dx = 6 \int x^{\frac{5}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{5}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4}{\sqrt{x}}\, dx = 4 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8 \sqrt{x}$

      El resultado es: $- \frac{6 x^{\frac{17}{6}}}{17} + \frac{12 x^{\frac{7}{2}}}{7} + 8 \sqrt{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{6 x^{\frac{17}{6}}}{17} + \frac{12 x^{\frac{7}{2}}}{7} + 8 \sqrt{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{6 x^{\frac{17}{6}}}{17} + \frac{12 x^{\frac{7}{2}}}{7} + 8 \sqrt{x}+ \mathrm{constant}$