Integral de dx/(10-5x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 10 - 5 x$.

      Luego que $du = - 5 dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

      $\int \left(- \frac{1}{5 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(10 - 5 x \right)}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{10 - 5 x} = - \frac{1}{5 \left(x - 2\right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{5 \left(x - 2\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{5}$

      1. que $u = x - 2$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(x - 2 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{5}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{10 - 5 x} = - \frac{1}{5 x - 10}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{5 x - 10}\right)\, dx = - \int \frac{1}{5 x - 10}\, dx$

      1. que $u = 5 x - 10$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{1}{5 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(5 x - 10 \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(5 x - 10 \right)}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(10 - 5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(10 - 5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$