Integral de arctg3x-4 dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$

               1. que $u = u^{2} + 1$.

                  Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{3} - \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $x \operatorname{atan}{\left(3 x \right)} - \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{6}$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{3}{9 x^{2} + 1}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 x}{9 x^{2} + 1}\, dx = 3 \int \frac{x}{9 x^{2} + 1}\, dx$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x}{9 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{18 x}{9 x^{2} + 1}\, dx}{18}$

            1. que $u = 9 x^{2} + 1$.

               Luego que $du = 18 x dx$ y ponemos $\frac{du}{18}$:

               $\int \frac{1}{18 u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{6}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \left(-4\right)\, dx = - 4 x$

   El resultado es: $x \operatorname{atan}{\left(3 x \right)} - 4 x - \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{6}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x \operatorname{atan}{\left(3 x \right)} - 4 x - \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \operatorname{atan}{\left(3 x \right)} - 4 x - \frac{\log{\left(9 x^{2} + 1 \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$