Sr Examen
Integral de (1/cos(x)) dx
Solución
Ha introducido
[src]
pi -- 4 / | | 1 | ------ dx | cos(x) | / 0
$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$$
Integral(1/cos(x), (x, 0, pi/4))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 1 | ------ dx | cos(x) | /
La función subintegral
1 ------ cos(x)
Multiplicamos numerador y denominador por
cos(x)
obtendremos
1 cos(x)
------ = -------
cos(x) 2
cos (x)Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
2 2 cos (x) = 1 - sin (x)
cambiamos denominador
cos(x) cos(x) ------- = ----------- 2 2 cos (x) 1 - sin (x)
hacemos el cambio
u = sin(x)
entonces integral
/ | | cos(x) | ----------- dx | 2 = | 1 - sin (x) | /
/ | | cos(x) | ----------- dx | 2 = | 1 - sin (x) | /
Como du = dx*cos(x)
/ | | 1 | ------ du | 2 | 1 - u | /
Reescribimos la función subintegral
1 1
----- + -----
1 1 - u 1 + u
------ = -------------
2 2
1 - u entonces
/ /
| |
| 1 | 1
| ----- du | ----- du
/ | 1 + u | 1 - u
| | |
| 1 / / =
| ------ du = ----------- + -----------
| 2 2 2
| 1 - u
|
/
= log(1 + u)/2 - log(-1 + u)/2
hacemos cambio inverso
u = sin(x)
Respuesta
/ | | 1 log(1 + sin(x)) log(-1 + sin(x)) | ------ dx = --------------- - ---------------- + C0 | cos(x) 2 2 | /
donde C0 es la constante que no depende de x
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | | 1 log(1 + sin(x)) log(-1 + sin(x)) | ------ dx = C + --------------- - ---------------- | cos(x) 2 2 | /
$$\int \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
/ ___\ / ___\
| \/ 2 | | \/ 2 |
log|1 + -----| log|1 - -----|
\ 2 / \ 2 /
-------------- - --------------
2 2
$$\frac{\log{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2}$$
=
=
/ ___\ / ___\
| \/ 2 | | \/ 2 |
log|1 + -----| log|1 - -----|
\ 2 / \ 2 /
-------------- - --------------
2 2
$$\frac{\log{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2}$$
log(1 + sqrt(2)/2)/2 - log(1 - sqrt(2)/2)/2
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.