Sr Examen

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Integral de x*dx/(2*x^2+2*x+5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                  
  /                  
 |                   
 |        x          
 |  -------------- dx
 |     2             
 |  2*x  + 2*x + 5   
 |                   
/                    
0                    
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\left(2 x^{2} + 2 x\right) + 5}\, dx$$
Integral(x/(2*x^2 + 2*x + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /                 
 |                  
 |       x          
 | -------------- dx
 |    2             
 | 2*x  + 2*x + 5   
 |                  
/                   
Reescribimos la función subintegral
                 /  2*2*x + 2   \                   
                 |--------------|       / -1  \     
                 |   2          |       |-----|     
      x          \2*x  + 2*x + 5/       \2*9/2/     
-------------- = ---------------- + ----------------
   2                    4                      2    
2*x  + 2*x + 5                      /  2*x   1\     
                                    |- --- - -|  + 1
                                    \   3    3/     
o
  /                   
 |                    
 |       x            
 | -------------- dx  
 |    2              =
 | 2*x  + 2*x + 5     
 |                    
/                     
  
    /                                          
   |                                           
   |        1                /                 
   | ---------------- dx    |                  
   |            2           |   2*2*x + 2      
   | /  2*x   1\            | -------------- dx
   | |- --- - -|  + 1       |    2             
   | \   3    3/            | 2*x  + 2*x + 5   
   |                        |                  
  /                        /                   
- ---------------------- + --------------------
            9                       4          
En integral
  /                 
 |                  
 |   2*2*x + 2      
 | -------------- dx
 |    2             
 | 2*x  + 2*x + 5   
 |                  
/                   
--------------------
         4          
hacemos el cambio
             2
u = 2*x + 2*x 
entonces
integral =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 5 + u                
 |                      
/             log(5 + u)
----------- = ----------
     4            4     
hacemos cambio inverso
  /                                       
 |                                        
 |   2*2*x + 2                            
 | -------------- dx                      
 |    2                                   
 | 2*x  + 2*x + 5                         
 |                        /             2\
/                      log\5 + 2*x + 2*x /
-------------------- = -------------------
         4                      4         
En integral
   /                    
  |                     
  |        1            
- | ---------------- dx 
  |            2        
  | /  2*x   1\         
  | |- --- - -|  + 1    
  | \   3    3/         
  |                     
 /                      
------------------------
           9            
hacemos el cambio
      1   2*x
v = - - - ---
      3    3 
entonces
integral =
   /                      
  |                       
  |   1                   
- | ------ dv             
  |      2                
  | 1 + v                 
  |                       
 /               -atan(v) 
-------------- = ---------
      9              9    
hacemos cambio inverso
   /                                      
  |                                       
  |        1                              
- | ---------------- dx                   
  |            2                          
  | /  2*x   1\                           
  | |- --- - -|  + 1                      
  | \   3    3/                 /1   2*x\ 
  |                        -atan|- + ---| 
 /                              \3    3 / 
------------------------ = ---------------
           9                      6       
La solución:
        /1   2*x\      /5        2\
    atan|- + ---|   log|- + x + x |
        \3    3 /      \2         /
C - ------------- + ---------------
          6                4       
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                            /1   2*x\                      
 |                         atan|- + ---|      /             2\
 |       x                     \3    3 /   log\5 + 2*x + 2*x /
 | -------------- dx = C - ------------- + -------------------
 |    2                          6                  4         
 | 2*x  + 2*x + 5                                             
 |                                                            
/                                                             
$$\int \frac{x}{\left(2 x^{2} + 2 x\right) + 5}\, dx = C + \frac{\log{\left(2 x^{2} + 2 x + 5 \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \right)}}{6}$$
Gráfica
Respuesta [src]
  log(5/2)   pi   log(9/2)   atan(1/3)
- -------- - -- + -------- + ---------
     4       24      4           6    
$$- \frac{\log{\left(\frac{5}{2} \right)}}{4} - \frac{\pi}{24} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{6} + \frac{\log{\left(\frac{9}{2} \right)}}{4}$$
=
=
  log(5/2)   pi   log(9/2)   atan(1/3)
- -------- - -- + -------- + ---------
     4       24      4           6    
$$- \frac{\log{\left(\frac{5}{2} \right)}}{4} - \frac{\pi}{24} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{6} + \frac{\log{\left(\frac{9}{2} \right)}}{4}$$
-log(5/2)/4 - pi/24 + log(9/2)/4 + atan(1/3)/6
Respuesta numérica [src]
0.0696720647253954
0.0696720647253954

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.