Sr Examen

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Resolución de integrales/ (2x-3)/ cos(x/2)/ (2x-3)*cos(x/2)

Integral de (2x-3)*cos(x/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |               /x\   
 |  (2*x - 3)*cos|-| dx
 |               \2/   
 |                     
/                      
0
∫01(2x−3)cos⁡(x2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(2 x - 3\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx 
Integral((2*x - 3)*cos(x/2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x−3)cos⁡(x2)=2xcos⁡(x2)−3cos⁡(x2)\left(2 x - 3\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xcos⁡(x2) dx=2∫xcos⁡(x2) dx\int 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡(x2) dx=2∫sin⁡(x2) dx\int 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(x2)- 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4xsin⁡(x2)+8cos⁡(x2)4 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 8 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3cos⁡(x2)) dx=−3∫cos⁡(x2) dx\int \left(- 3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −6sin⁡(x2)- 6 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      El resultado es: 4xsin⁡(x2)−6sin⁡(x2)+8cos⁡(x2)4 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 6 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 8 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=2x−3u{\left(x \right)} = 2 x - 3 y que dv⁡(x)=cos⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫4sin⁡(x2) dx=4∫sin⁡(x2) dx\int 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −8cos⁡(x2)- 8 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x−3)cos⁡(x2)=2xcos⁡(x2)−3cos⁡(x2)\left(2 x - 3\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xcos⁡(x2) dx=2∫xcos⁡(x2) dx\int 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡(x2) dx=2∫sin⁡(x2) dx\int 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

          1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

            Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

            ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(x2)- 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4xsin⁡(x2)+8cos⁡(x2)4 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 8 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3cos⁡(x2)) dx=−3∫cos⁡(x2) dx\int \left(- 3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −6sin⁡(x2)- 6 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      El resultado es: 4xsin⁡(x2)−6sin⁡(x2)+8cos⁡(x2)4 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 6 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 8 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    4xsin⁡(x2)−6sin⁡(x2)+8cos⁡(x2)+constant4 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 6 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 8 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

4xsin⁡(x2)−6sin⁡(x2)+8cos⁡(x2)+constant4 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 6 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 8 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                          
 |                                                           
 |              /x\               /x\        /x\          /x\
 | (2*x - 3)*cos|-| dx = C - 6*sin|-| + 8*cos|-| + 4*x*sin|-|
 |              \2/               \2/        \2/          \2/
 |                                                           
/
∫(2x−3)cos⁡(x2) dx=C+4xsin⁡(x2)−6sin⁡(x2)+8cos⁡(x2)\int \left(2 x - 3\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C + 4 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 6 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 8 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-8 - 2*sin(1/2) + 8*cos(1/2)
−8−2sin⁡(12)+8cos⁡(12)-8 - 2 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} + 8 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} 
=
= 
-8 - 2*sin(1/2) + 8*cos(1/2)
−8−2sin⁡(12)+8cos⁡(12)-8 - 2 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} + 8 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} 
-8 - 2*sin(1/2) + 8*cos(1/2)
Respuesta numérica [src] 
-1.93819058208542
-1.93819058208542

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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