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Resolución de integrales/ cos(x)/ sin(x)/ (sin(x))^4*(cos(x))^3

Integral de (sin(x))^4*(cos(x))^3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |     4       3      
 |  sin (x)*cos (x) dx
 |                    
/                     
0
∫01sin⁡4(x)cos⁡3(x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(sin(x)^4*cos(x)^3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡4(x)cos⁡3(x)=(1−sin⁡2(x))sin⁡4(x)cos⁡(x)\sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

      Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫(−u6+u4) du\int \left(- u^{6} + u^{4}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u6) du=−∫u6 du\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Por lo tanto, el resultado es: −u77- \frac{u^{7}}{7}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        El resultado es: −u77+u55- \frac{u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −sin⁡7(x)7+sin⁡5(x)5- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))sin⁡4(x)cos⁡(x)=−sin⁡6(x)cos⁡(x)+sin⁡4(x)cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡6(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡6(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u6 du\int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡7(x)7\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡7(x)7- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u4 du\int u^{4}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

      El resultado es: −sin⁡7(x)7+sin⁡5(x)5- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))sin⁡4(x)cos⁡(x)=−sin⁡6(x)cos⁡(x)+sin⁡4(x)cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡6(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡6(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u6 du\int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡7(x)7\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡7(x)7- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u4 du\int u^{4}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

      El resultado es: −sin⁡7(x)7+sin⁡5(x)5- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −sin⁡7(x)7+sin⁡5(x)5+constant- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−sin⁡7(x)7+sin⁡5(x)5+constant- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                          
 |                             7         5   
 |    4       3             sin (x)   sin (x)
 | sin (x)*cos (x) dx = C - ------- + -------
 |                             7         5   
/
∫sin⁡4(x)cos⁡3(x) dx=C−sin⁡7(x)7+sin⁡5(x)5\int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.000.10
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     7         5   
  sin (1)   sin (1)
- ------- + -------
     7         5
−sin⁡7(1)7+sin⁡5(1)5- \frac{\sin^{7}{\left(1 \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)}}{5} 
=
= 
     7         5   
  sin (1)   sin (1)
- ------- + -------
     7         5
−sin⁡7(1)7+sin⁡5(1)5- \frac{\sin^{7}{\left(1 \right)}}{7} + \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)}}{5} 
-sin(1)^7/7 + sin(1)^5/5
Respuesta numérica [src] 
0.0417020785888258
0.0417020785888258

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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