Integral de (e^x+3x^2)x dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x \left(e^{x} + 3 x^{2}\right) = 3 x^{3} + x e^{x}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 x^{3}\, dx = 3 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{4}}{4}$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral de la función exponencial es la mesma.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   El resultado es: $\frac{3 x^{4}}{4} + x e^{x} - e^{x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x^{4}}{4} + x e^{x} - e^{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{4}}{4} + x e^{x} - e^{x}+ \mathrm{constant}$