Integral de sin(2x)*sin(5x) dx

Solución

Ha introducido [src]

 pi                     
 --                     
 2                      
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 |  sin(2*x)*sin(5*x) dx
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0

$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(5 x \right)}\, dx$$

Integral(sin(2*x)*sin(5*x), (x, 0, pi/2))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int 2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\sin{\left(x \right)} \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 16 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 20 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 5 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 16 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 16 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 20 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 20 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \sin^{5}{\left(x \right)}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 5 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    El resultado es: $\frac{16 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - 4 \sin^{5}{\left(x \right)} + \frac{5 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - 8 \sin^{5}{\left(x \right)} + \frac{10 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} = 32 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 40 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 10 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 32 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 32 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 40 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 40 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \sin^{5}{\left(x \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 10 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  El resultado es: $\frac{32 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - 8 \sin^{5}{\left(x \right)} + \frac{10 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
Ahora simplificar:

$\frac{2 \left(48 \sin^{4}{\left(x \right)} - 84 \sin^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{21}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{2 \left(48 \sin^{4}{\left(x \right)} - 84 \sin^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{21}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(48 \sin^{4}{\left(x \right)} - 84 \sin^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{21}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                             3            7   
 |                                 5      10*sin (x)   32*sin (x)
 | sin(2*x)*sin(5*x) dx = C - 8*sin (x) + ---------- + ----------
 |                                            3            7     
/

$$\int \sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(5 x \right)}\, dx = C + \frac{32 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - 8 \sin^{5}{\left(x \right)} + \frac{10 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

-2/21

$$- \frac{2}{21}$$

-2/21

$$- \frac{2}{21}$$

-2/21

Respuesta numérica [src]

-0.0952380952380952

-0.0952380952380952

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de sin(2x)*sin(5x) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2