Integral de e^(3x)/sqrte^(3x-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du e^{\frac{1}{2}}}{3}$:

      $\int \frac{e^{\frac{1}{2}} e^{\frac{u}{2}}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e^{\frac{u}{2}}\, du = \frac{e^{\frac{1}{2}} \int e^{\frac{u}{2}}\, du}{3}$

         1. que $u = \frac{u}{2}$.

            Luego que $du = \frac{du}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 e^{\frac{u}{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{\frac{1}{2}} e^{\frac{u}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 e^{\frac{1}{2}} e^{\frac{3 x}{2}}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{3 x}}{\left(\sqrt{e}\right)^{3 x - 1}} = e^{\frac{1}{2}} e^{\frac{3 x}{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e^{\frac{1}{2}} e^{\frac{3 x}{2}}\, dx = e^{\frac{1}{2}} \int e^{\frac{3 x}{2}}\, dx$

      1. que $u = \frac{3 x}{2}$.

         Luego que $du = \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

         $\int \frac{2 e^{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{u}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 e^{\frac{3 x}{2}}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{\frac{1}{2}} e^{\frac{3 x}{2}}}{3}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{3 x}}{\left(\sqrt{e}\right)^{3 x - 1}} = e^{\frac{1}{2}} e^{\frac{3 x}{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e^{\frac{1}{2}} e^{\frac{3 x}{2}}\, dx = e^{\frac{1}{2}} \int e^{\frac{3 x}{2}}\, dx$

      1. que $u = \frac{3 x}{2}$.

         Luego que $du = \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

         $\int \frac{2 e^{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{u}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 e^{\frac{3 x}{2}}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{\frac{1}{2}} e^{\frac{3 x}{2}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 e^{\frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 e^{\frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 e^{\frac{3 x}{2} + \frac{1}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$