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Resolución de integrales/ sin(t)/ (sin(t))^6

Integral de (sin(t))^6 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi           
 --           
 2            
  /           
 |            
 |     6      
 |  sin (t) dt
 |            
/             
0
∫0π2sin⁡6(t) dt\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{6}{\left(t \right)}\, dt 
Integral(sin(t)^6, (t, 0, pi/2))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡6(t)=(12−cos⁡(2t)2)3\sin^{6}{\left(t \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)^{3}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(2t)2)3=−cos⁡3(2t)8+3cos⁡2(2t)8−3cos⁡(2t)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{1}{8}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡3(2t)8) dt=−∫cos⁡3(2t) dt8\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(2t)=(1−sin⁡2(2t))cos⁡(2t)\cos^{3}{\left(2 t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 t \right)}\right) \cos{\left(2 t \right)}

        2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=sin⁡(2t)u = \sin{\left(2 t \right)}.

            Luego que du=2cos⁡(2t)dtdu = 2 \cos{\left(2 t \right)} dt y ponemos dudu:

            ∫(12−u22) du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−u22) du=−∫u2 du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u36- \frac{u^{3}}{6}

              El resultado es: −u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −sin⁡3(2t)6+sin⁡(2t)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (1−sin⁡2(2t))cos⁡(2t)=−sin⁡2(2t)cos⁡(2t)+cos⁡(2t)\left(1 - \sin^{2}{\left(2 t \right)}\right) \cos{\left(2 t \right)} = - \sin^{2}{\left(2 t \right)} \cos{\left(2 t \right)} + \cos{\left(2 t \right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−sin⁡2(2t)cos⁡(2t)) dt=−∫sin⁡2(2t)cos⁡(2t) dt\int \left(- \sin^{2}{\left(2 t \right)} \cos{\left(2 t \right)}\right)\, dt = - \int \sin^{2}{\left(2 t \right)} \cos{\left(2 t \right)}\, dt

              1. que u=sin⁡(2t)u = \sin{\left(2 t \right)}.

                Luego que du=2cos⁡(2t)dtdu = 2 \cos{\left(2 t \right)} dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫u22 du\int \frac{u^{2}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u2 du=∫u2 du2\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Por lo tanto, el resultado es: u36\frac{u^{3}}{6}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡3(2t)6\frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(2t)6- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6}

            1. que u=2tu = 2 t.

              Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2t)2\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

            El resultado es: −sin⁡3(2t)6+sin⁡(2t)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

          Método #3

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (1−sin⁡2(2t))cos⁡(2t)=−sin⁡2(2t)cos⁡(2t)+cos⁡(2t)\left(1 - \sin^{2}{\left(2 t \right)}\right) \cos{\left(2 t \right)} = - \sin^{2}{\left(2 t \right)} \cos{\left(2 t \right)} + \cos{\left(2 t \right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−sin⁡2(2t)cos⁡(2t)) dt=−∫sin⁡2(2t)cos⁡(2t) dt\int \left(- \sin^{2}{\left(2 t \right)} \cos{\left(2 t \right)}\right)\, dt = - \int \sin^{2}{\left(2 t \right)} \cos{\left(2 t \right)}\, dt

              1. que u=sin⁡(2t)u = \sin{\left(2 t \right)}.

                Luego que du=2cos⁡(2t)dtdu = 2 \cos{\left(2 t \right)} dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫u22 du\int \frac{u^{2}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u2 du=∫u2 du2\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Por lo tanto, el resultado es: u36\frac{u^{3}}{6}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡3(2t)6\frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(2t)6- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6}

            1. que u=2tu = 2 t.

              Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2t)2\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

            El resultado es: −sin⁡3(2t)6+sin⁡(2t)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡3(2t)48−sin⁡(2t)16\frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3cos⁡2(2t)8 dt=3∫cos⁡2(2t) dt8\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8}\, dt = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(2t)=cos⁡(4t)2+12\cos^{2}{\left(2 t \right)} = \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(4t)2 dt=∫cos⁡(4t) dt2\int \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(4 t \right)}\, dt}{2}

            1. que u=4tu = 4 t.

              Luego que du=4dtdu = 4 dt y ponemos du4\frac{du}{4}:

              ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(4t)4\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4t)8\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dt=t2\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}

          El resultado es: t2+sin⁡(4t)8\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: 3t16+3sin⁡(4t)64\frac{3 t}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 t \right)}}{64}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3cos⁡(2t)8) dt=−3∫cos⁡(2t) dt8\int \left(- \frac{3 \cos{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{3 \int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{8}

        1. que u=2tu = 2 t.

          Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2t)2\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡(2t)16- \frac{3 \sin{\left(2 t \right)}}{16}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫18 dt=t8\int \frac{1}{8}\, dt = \frac{t}{8}

      El resultado es: 5t16+sin⁡3(2t)48−sin⁡(2t)4+3sin⁡(4t)64\frac{5 t}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 t \right)}}{64}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(2t)2)3=−cos⁡3(2t)8+3cos⁡2(2t)8−3cos⁡(2t)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{1}{8}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡3(2t)8) dt=−∫cos⁡3(2t) dt8\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{\int \cos^{3}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(2t)=(1−sin⁡2(2t))cos⁡(2t)\cos^{3}{\left(2 t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 t \right)}\right) \cos{\left(2 t \right)}

        2. que u=sin⁡(2t)u = \sin{\left(2 t \right)}.

          Luego que du=2cos⁡(2t)dtdu = 2 \cos{\left(2 t \right)} dt y ponemos dudu:

          ∫(12−u22) du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u22) du=−∫u2 du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u36- \frac{u^{3}}{6}

            El resultado es: −u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡3(2t)6+sin⁡(2t)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡3(2t)48−sin⁡(2t)16\frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3cos⁡2(2t)8 dt=3∫cos⁡2(2t) dt8\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 t \right)}}{8}\, dt = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 t \right)}\, dt}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(2t)=cos⁡(4t)2+12\cos^{2}{\left(2 t \right)} = \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(4t)2 dt=∫cos⁡(4t) dt2\int \frac{\cos{\left(4 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(4 t \right)}\, dt}{2}

            1. que u=4tu = 4 t.

              Luego que du=4dtdu = 4 dt y ponemos du4\frac{du}{4}:

              ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(4t)4\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4t)8\frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dt=t2\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}

          El resultado es: t2+sin⁡(4t)8\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(4 t \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: 3t16+3sin⁡(4t)64\frac{3 t}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 t \right)}}{64}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3cos⁡(2t)8) dt=−3∫cos⁡(2t) dt8\int \left(- \frac{3 \cos{\left(2 t \right)}}{8}\right)\, dt = - \frac{3 \int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{8}

        1. que u=2tu = 2 t.

          Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2t)2\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡(2t)16- \frac{3 \sin{\left(2 t \right)}}{16}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫18 dt=t8\int \frac{1}{8}\, dt = \frac{t}{8}

      El resultado es: 5t16+sin⁡3(2t)48−sin⁡(2t)4+3sin⁡(4t)64\frac{5 t}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 t \right)}}{64}

  3. Ahora simplificar:

    5t16−15sin⁡(2t)64+3sin⁡(4t)64−sin⁡(6t)192\frac{5 t}{16} - \frac{15 \sin{\left(2 t \right)}}{64} + \frac{3 \sin{\left(4 t \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(6 t \right)}}{192}

  4. Añadimos la constante de integración:

    5t16−15sin⁡(2t)64+3sin⁡(4t)64−sin⁡(6t)192+constant\frac{5 t}{16} - \frac{15 \sin{\left(2 t \right)}}{64} + \frac{3 \sin{\left(4 t \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(6 t \right)}}{192}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

5t16−15sin⁡(2t)64+3sin⁡(4t)64−sin⁡(6t)192+constant\frac{5 t}{16} - \frac{15 \sin{\left(2 t \right)}}{64} + \frac{3 \sin{\left(4 t \right)}}{64} - \frac{\sin{\left(6 t \right)}}{192}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                        
 |                                3                        
 |    6             sin(2*t)   sin (2*t)   3*sin(4*t)   5*t
 | sin (t) dt = C - -------- + --------- + ---------- + ---
 |                     4           48          64        16
/
∫sin⁡6(t) dt=C+5t16+sin⁡3(2t)48−sin⁡(2t)4+3sin⁡(4t)64\int \sin^{6}{\left(t \right)}\, dt = C + \frac{5 t}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(2 t \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 t \right)}}{64}
Simplificar
Gráfica
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.502
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
5*pi
----
 32
5π32\frac{5 \pi}{32} 
=
= 
5*pi
----
 32
5π32\frac{5 \pi}{32} 
5*pi/32
Respuesta numérica [src] 
0.490873852123405
0.490873852123405

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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