Integral de (sqrt(x))^3/x^2+(x/4-3)^3 dx

1. Integramos término a término:

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \frac{x}{4} - 3$.

         Luego que $du = \frac{dx}{4}$ y ponemos $4 du$:

         $\int 4 u^{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{3}\, du = 4 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\left(\frac{x}{4} - 3\right)^{4}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\frac{x}{4} - 3\right)^{3} = \frac{x^{3}}{64} - \frac{9 x^{2}}{16} + \frac{27 x}{4} - 27$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{3}}{64}\, dx = \frac{\int x^{3}\, dx}{64}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{256}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{9 x^{2}}{16}\right)\, dx = - \frac{9 \int x^{2}\, dx}{16}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{3}}{16}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{27 x}{4}\, dx = \frac{27 \int x\, dx}{4}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{27 x^{2}}{8}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-27\right)\, dx = - 27 x$

         El resultado es: $\frac{x^{4}}{256} - \frac{3 x^{3}}{16} + \frac{27 x^{2}}{8} - 27 x$

   El resultado es: $2 \sqrt{x} + \left(\frac{x}{4} - 3\right)^{4}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \sqrt{x} + \frac{\left(x - 12\right)^{4}}{256}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{x} + \frac{\left(x - 12\right)^{4}}{256}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x} + \frac{\left(x - 12\right)^{4}}{256}+ \mathrm{constant}$