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Resolución de integrales/ arctg/ 3*x^2/ tg(x)/ x^2+1/ (3*x^2+1)*arctg(x)

Integral de (3*x^2+1)*arctg(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
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 |  \3*x  + 1/*atan(x) dx
 |                       
/                        
0
∫01(3x2+1)atan⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(3 x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}\, dx 
Integral((3*x^2 + 1)*atan(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x2+1)atan⁡(x)=3x2atan⁡(x)+atan⁡(x)\left(3 x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)} = 3 x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x2atan⁡(x) dx=3∫x2atan⁡(x) dx\int 3 x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=atan⁡(x)u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}.

          Entonces du⁡(x)=1x2+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫x33(x2+1) dx=∫x3x2+1 dx3\int \frac{x^{3}}{3 \left(x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}\, dx}{3}

          1. que u=x2u = x^{2}.

            Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos dudu:

            ∫u2u+2 du\int \frac{u}{2 u + 2}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              u2u+2=12−12(u+1)\frac{u}{2 u + 2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−12(u+1)) du=−∫1u+1 du2\int \left(- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}

                1. que u=u+1u = u + 1.

                  Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                  ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)2- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

              El resultado es: u2−log⁡(u+1)2\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            x22−log⁡(x2+1)2\frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: x26−log⁡(x2+1)6\frac{x^{2}}{6} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: x3atan⁡(x)−x22+log⁡(x2+1)2x^{3} \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=atan⁡(x)u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

        Entonces du⁡(x)=1x2+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xx2+1 dx=∫2xx2+1 dx2\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}

        1. que u=x2+1u = x^{2} + 1.

          Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x2+1)\log{\left(x^{2} + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x2+1)2\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}

      El resultado es: x3atan⁡(x)−x22+xatan⁡(x)x^{3} \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x \operatorname{atan}{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=atan⁡(x)u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=3x2+1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 3 x^{2} + 1.

      Entonces du⁡(x)=1x2+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3x2 dx=3∫x2 dx\int 3 x^{2}\, dx = 3 \int x^{2}\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: x3x^{3}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        El resultado es: x3+xx^{3} + x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x3+xx2+1=x\frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1} = x

    3. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

      ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x2+1)atan⁡(x)=3x2atan⁡(x)+atan⁡(x)\left(3 x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)} = 3 x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x2atan⁡(x) dx=3∫x2atan⁡(x) dx\int 3 x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=atan⁡(x)u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}.

          Entonces du⁡(x)=1x2+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫x33(x2+1) dx=∫x3x2+1 dx3\int \frac{x^{3}}{3 \left(x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}\, dx}{3}

          1. que u=x2u = x^{2}.

            Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos dudu:

            ∫u2u+2 du\int \frac{u}{2 u + 2}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              u2u+2=12−12(u+1)\frac{u}{2 u + 2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−12(u+1)) du=−∫1u+1 du2\int \left(- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}

                1. que u=u+1u = u + 1.

                  Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                  ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)2- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

              El resultado es: u2−log⁡(u+1)2\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            x22−log⁡(x2+1)2\frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: x26−log⁡(x2+1)6\frac{x^{2}}{6} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: x3atan⁡(x)−x22+log⁡(x2+1)2x^{3} \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=atan⁡(x)u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

        Entonces du⁡(x)=1x2+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xx2+1 dx=∫2xx2+1 dx2\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}

        1. que u=x2+1u = x^{2} + 1.

          Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x2+1)\log{\left(x^{2} + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x2+1)2\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}

      El resultado es: x3atan⁡(x)−x22+xatan⁡(x)x^{3} \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x \operatorname{atan}{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    x(x2atan⁡(x)−x2+atan⁡(x))x \left(x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{x}{2} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(x2atan⁡(x)−x2+atan⁡(x))+constantx \left(x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{x}{2} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x(x2atan⁡(x)−x2+atan⁡(x))+constantx \left(x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{x}{2} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                       
 |                              2                         
 | /   2    \                  x                 3        
 | \3*x  + 1/*atan(x) dx = C - -- + x*atan(x) + x *atan(x)
 |                             2                          
/
∫(3x2+1)atan⁡(x) dx=C+x3atan⁡(x)−x22+xatan⁡(x)\int \left(3 x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}\, dx = C + x^{3} \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2} + x \operatorname{atan}{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9005
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1   pi
- - + --
  2   2
−12+π2- \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2} 
=
= 
  1   pi
- - + --
  2   2
−12+π2- \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2} 
-1/2 + pi/2
Respuesta numérica [src] 
1.0707963267949
1.0707963267949

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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