Integral de ctg^23xdx/sin^2x dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\cot^{23}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} = \left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{11} \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \csc^{2}{\left(x \right)} - 1$.

      Luego que $du = - 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{u^{11}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{11}\, du = - \frac{\int u^{11}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{11}\, du = \frac{u^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{12}}{24}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{12}}{24}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{11} \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} \csc^{24}{\left(x \right)} - 11 \cot{\left(x \right)} \csc^{22}{\left(x \right)} + 55 \cot{\left(x \right)} \csc^{20}{\left(x \right)} - 165 \cot{\left(x \right)} \csc^{18}{\left(x \right)} + 330 \cot{\left(x \right)} \csc^{16}{\left(x \right)} - 462 \cot{\left(x \right)} \csc^{14}{\left(x \right)} + 462 \cot{\left(x \right)} \csc^{12}{\left(x \right)} - 330 \cot{\left(x \right)} \csc^{10}{\left(x \right)} + 165 \cot{\left(x \right)} \csc^{8}{\left(x \right)} - 55 \cot{\left(x \right)} \csc^{6}{\left(x \right)} + 11 \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{23}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{23}\, du = - \int u^{23}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{23}\, du = \frac{u^{24}}{24}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{24}}{24}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\csc^{24}{\left(x \right)}}{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 11 \cot{\left(x \right)} \csc^{22}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 11 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{22}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{21}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{21}\, du = - \int u^{21}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{21}\, du = \frac{u^{22}}{22}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{22}}{22}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{22}{\left(x \right)}}{22}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\csc^{22}{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 55 \cot{\left(x \right)} \csc^{20}{\left(x \right)}\, dx = 55 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{20}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{19}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{19}\, du = - \int u^{19}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{19}\, du = \frac{u^{20}}{20}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{20}}{20}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{20}{\left(x \right)}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{11 \csc^{20}{\left(x \right)}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 165 \cot{\left(x \right)} \csc^{18}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 165 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{18}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{17}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{17}\, du = - \int u^{17}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{17}\, du = \frac{u^{18}}{18}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{18}}{18}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{18}{\left(x \right)}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{55 \csc^{18}{\left(x \right)}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 330 \cot{\left(x \right)} \csc^{16}{\left(x \right)}\, dx = 330 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{16}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{15}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{15}\, du = - \int u^{15}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{15}\, du = \frac{u^{16}}{16}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{16}}{16}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{16}{\left(x \right)}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{165 \csc^{16}{\left(x \right)}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 462 \cot{\left(x \right)} \csc^{14}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 462 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{14}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{13}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{13}\, du = - \int u^{13}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{13}\, du = \frac{u^{14}}{14}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{14}}{14}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{14}{\left(x \right)}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $33 \csc^{14}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 462 \cot{\left(x \right)} \csc^{12}{\left(x \right)}\, dx = 462 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{12}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{11}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{11}\, du = - \int u^{11}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{11}\, du = \frac{u^{12}}{12}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{12}}{12}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{12}{\left(x \right)}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{77 \csc^{12}{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 330 \cot{\left(x \right)} \csc^{10}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 330 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{10}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{9}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{9}\, du = - \int u^{9}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{10}}{10}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{10}{\left(x \right)}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $33 \csc^{10}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 165 \cot{\left(x \right)} \csc^{8}{\left(x \right)}\, dx = 165 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{8}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{7}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{7}\, du = - \int u^{7}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{8}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{8}{\left(x \right)}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{165 \csc^{8}{\left(x \right)}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 55 \cot{\left(x \right)} \csc^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 55 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{6}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{5}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{5}\, du = - \int u^{5}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{6}{\left(x \right)}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{55 \csc^{6}{\left(x \right)}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 11 \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)}\, dx = 11 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{11 \csc^{4}{\left(x \right)}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      El resultado es: $- \frac{\csc^{24}{\left(x \right)}}{24} + \frac{\csc^{22}{\left(x \right)}}{2} - \frac{11 \csc^{20}{\left(x \right)}}{4} + \frac{55 \csc^{18}{\left(x \right)}}{6} - \frac{165 \csc^{16}{\left(x \right)}}{8} + 33 \csc^{14}{\left(x \right)} - \frac{77 \csc^{12}{\left(x \right)}}{2} + 33 \csc^{10}{\left(x \right)} - \frac{165 \csc^{8}{\left(x \right)}}{8} + \frac{55 \csc^{6}{\left(x \right)}}{6} - \frac{11 \csc^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{11} \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} \csc^{24}{\left(x \right)} - 11 \cot{\left(x \right)} \csc^{22}{\left(x \right)} + 55 \cot{\left(x \right)} \csc^{20}{\left(x \right)} - 165 \cot{\left(x \right)} \csc^{18}{\left(x \right)} + 330 \cot{\left(x \right)} \csc^{16}{\left(x \right)} - 462 \cot{\left(x \right)} \csc^{14}{\left(x \right)} + 462 \cot{\left(x \right)} \csc^{12}{\left(x \right)} - 330 \cot{\left(x \right)} \csc^{10}{\left(x \right)} + 165 \cot{\left(x \right)} \csc^{8}{\left(x \right)} - 55 \cot{\left(x \right)} \csc^{6}{\left(x \right)} + 11 \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{23}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{23}\, du = - \int u^{23}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{23}\, du = \frac{u^{24}}{24}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{24}}{24}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\csc^{24}{\left(x \right)}}{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 11 \cot{\left(x \right)} \csc^{22}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 11 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{22}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{21}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{21}\, du = - \int u^{21}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{21}\, du = \frac{u^{22}}{22}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{22}}{22}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{22}{\left(x \right)}}{22}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\csc^{22}{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 55 \cot{\left(x \right)} \csc^{20}{\left(x \right)}\, dx = 55 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{20}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{19}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{19}\, du = - \int u^{19}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{19}\, du = \frac{u^{20}}{20}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{20}}{20}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{20}{\left(x \right)}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{11 \csc^{20}{\left(x \right)}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 165 \cot{\left(x \right)} \csc^{18}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 165 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{18}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{17}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{17}\, du = - \int u^{17}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{17}\, du = \frac{u^{18}}{18}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{18}}{18}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{18}{\left(x \right)}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{55 \csc^{18}{\left(x \right)}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 330 \cot{\left(x \right)} \csc^{16}{\left(x \right)}\, dx = 330 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{16}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{15}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{15}\, du = - \int u^{15}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{15}\, du = \frac{u^{16}}{16}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{16}}{16}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{16}{\left(x \right)}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{165 \csc^{16}{\left(x \right)}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 462 \cot{\left(x \right)} \csc^{14}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 462 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{14}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{13}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{13}\, du = - \int u^{13}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{13}\, du = \frac{u^{14}}{14}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{14}}{14}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{14}{\left(x \right)}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $33 \csc^{14}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 462 \cot{\left(x \right)} \csc^{12}{\left(x \right)}\, dx = 462 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{12}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{11}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{11}\, du = - \int u^{11}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{11}\, du = \frac{u^{12}}{12}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{12}}{12}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{12}{\left(x \right)}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{77 \csc^{12}{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 330 \cot{\left(x \right)} \csc^{10}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 330 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{10}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{9}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{9}\, du = - \int u^{9}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{10}}{10}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{10}{\left(x \right)}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $33 \csc^{10}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 165 \cot{\left(x \right)} \csc^{8}{\left(x \right)}\, dx = 165 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{8}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{7}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{7}\, du = - \int u^{7}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{8}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{8}{\left(x \right)}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{165 \csc^{8}{\left(x \right)}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 55 \cot{\left(x \right)} \csc^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 55 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{6}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{5}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{5}\, du = - \int u^{5}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{6}{\left(x \right)}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{55 \csc^{6}{\left(x \right)}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 11 \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)}\, dx = 11 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{11 \csc^{4}{\left(x \right)}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      El resultado es: $- \frac{\csc^{24}{\left(x \right)}}{24} + \frac{\csc^{22}{\left(x \right)}}{2} - \frac{11 \csc^{20}{\left(x \right)}}{4} + \frac{55 \csc^{18}{\left(x \right)}}{6} - \frac{165 \csc^{16}{\left(x \right)}}{8} + 33 \csc^{14}{\left(x \right)} - \frac{77 \csc^{12}{\left(x \right)}}{2} + 33 \csc^{10}{\left(x \right)} - \frac{165 \csc^{8}{\left(x \right)}}{8} + \frac{55 \csc^{6}{\left(x \right)}}{6} - \frac{11 \csc^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $- \frac{1}{24 \tan^{24}{\left(x \right)}}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{24 \tan^{24}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{24 \tan^{24}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$