Sr Examen

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Integral de ctg(x/2+pi/4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1               
  /               
 |                
 |     /x   pi\   
 |  cot|- + --| dx
 |     \2   4 /   
 |                
/                 
0                 
01cot(x2+π4)dx\int\limits_{0}^{1} \cot{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\, dx
Integral(cot(x/2 + pi/4), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cot(x2+π4)=cos(x2+π4)sin(x2+π4)\cot{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sin(x2+π4)u = \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}.

      Luego que du=cos(x2+π4)dx2du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} dx}{2} y ponemos 2du2 du:

      2udu\int \frac{2}{u}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1udu=21udu\int \frac{1}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: 2log(u)2 \log{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2log(sin(x2+π4))2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      cos(x2+π4)sin(x2+π4)=cos(x2+π4)sin(x2+π4)\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}

    2. que u=sin(x2+π4)u = \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}.

      Luego que du=cos(x2+π4)dx2du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} dx}{2} y ponemos 2du2 du:

      2udu\int \frac{2}{u}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1udu=21udu\int \frac{1}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: 2log(u)2 \log{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2log(sin(x2+π4))2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      cos(x2+π4)sin(x2+π4)=cos(x2+π4)sin(x2+π4)\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}

    2. que u=sin(x2+π4)u = \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}.

      Luego que du=cos(x2+π4)dx2du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} dx}{2} y ponemos 2du2 du:

      2udu\int \frac{2}{u}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1udu=21udu\int \frac{1}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: 2log(u)2 \log{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2log(sin(x2+π4))2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}

  3. Ahora simplificar:

    2log(sin(x2+π4))2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}

  4. Añadimos la constante de integración:

    2log(sin(x2+π4))+constant2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

2log(sin(x2+π4))+constant2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                       
 |                                        
 |    /x   pi\               /   /x   pi\\
 | cot|- + --| dx = C + 2*log|sin|- + --||
 |    \2   4 /               \   \2   4 //
 |                                        
/                                         
cot(x2+π4)dx=C+2log(sin(x2+π4))\int \cot{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\, dx = C + 2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
Respuesta [src]
     /       2/1   pi\\        /   /1   pi\\         
- log|1 + tan |- + --|| + 2*log|tan|- + --|| + log(2)
     \        \2   4 //        \   \2   4 //         
log(1+tan2(12+π4))+log(2)+2log(tan(12+π4))- \log{\left(1 + \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} + \log{\left(2 \right)} + 2 \log{\left(\tan{\left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}
=
=
     /       2/1   pi\\        /   /1   pi\\         
- log|1 + tan |- + --|| + 2*log|tan|- + --|| + log(2)
     \        \2   4 //        \   \2   4 //         
log(1+tan2(12+π4))+log(2)+2log(tan(12+π4))- \log{\left(1 + \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} + \log{\left(2 \right)} + 2 \log{\left(\tan{\left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}
-log(1 + tan(1/2 + pi/4)^2) + 2*log(tan(1/2 + pi/4)) + log(2)
Respuesta numérica [src]
0.610564700497503
0.610564700497503

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.