Integral de (xy-4y)/(4x^2+y^2)^(3/2)dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x y - 4 y}{\left(4 x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x y - 4 y}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x y - 4 y}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}} = \frac{x y}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}} - \frac{4 y}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x y}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}\, dx = y \int \frac{x}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}\, dx$

         1. que $u = x^{2}$.

            Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{8 u \sqrt{4 u + y^{2}} + 2 y^{2} \sqrt{4 u + y^{2}}}\, du$

            1. que $u = \sqrt{4 u + y^{2}}$.

               Luego que $du = \frac{2 du}{\sqrt{4 u + y^{2}}}$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{1}{4 u^{2}}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{4}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{4 u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{1}{4 \sqrt{4 u + y^{2}}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{4 \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{y}{4 \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{4 y}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}\right)\, dx = - 4 y \int \frac{1}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\int \frac{1}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}\, dx$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 y \int \frac{1}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}\, dx$

      El resultado es: $- 4 y \int \frac{1}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}\, dx - \frac{y}{4 \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x y - 4 y}{\left(4 x^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x y}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}} - \frac{4 y}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x y}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}\, dx = y \int \frac{x}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}\, dx$

         1. que $u = x^{2}$.

            Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{8 u \sqrt{4 u + y^{2}} + 2 y^{2} \sqrt{4 u + y^{2}}}\, du$

            1. que $u = \sqrt{4 u + y^{2}}$.

               Luego que $du = \frac{2 du}{\sqrt{4 u + y^{2}}}$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{1}{4 u^{2}}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{4}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{4 u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{1}{4 \sqrt{4 u + y^{2}}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{4 \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{y}{4 \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{4 y}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}\right)\, dx = - 4 y \int \frac{1}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\int \frac{1}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}\, dx$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 y \int \frac{1}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}\, dx$

      El resultado es: $- 4 y \int \frac{1}{4 x^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}} + y^{2} \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}\, dx - \frac{y}{4 \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{4 x}{y^{2} \sqrt{\frac{4 x^{2}}{y^{2}} + 1}} - \frac{y}{4 \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{4 x}{y^{2} \sqrt{\frac{4 x^{2}}{y^{2}} + 1}} - \frac{y}{4 \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{4 x}{y^{2} \sqrt{\frac{4 x^{2}}{y^{2}} + 1}} - \frac{y}{4 \sqrt{4 x^{2} + y^{2}}}+ \mathrm{constant}$