Sr Examen

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Integral de cos^5(5x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1             
  /             
 |              
 |     5        
 |  cos (5*x) dx
 |              
/               
0               
01cos5(5x)dx\int\limits_{0}^{1} \cos^{5}{\left(5 x \right)}\, dx
Integral(cos(5*x)^5, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos5(5x)=(1sin2(5x))2cos(5x)\cos^{5}{\left(5 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(5 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(5 x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=5xu = 5 x.

      Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos dudu:

      (sin4(u)cos(u)52sin2(u)cos(u)5+cos(u)5)du\int \left(\frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{5} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          sin4(u)cos(u)5du=sin4(u)cos(u)du5\int \frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. que u=sin(u)u = \sin{\left(u \right)}.

            Luego que du=cos(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

            u4du\int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin5(u)5\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: sin5(u)25\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{25}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (2sin2(u)cos(u)5)du=2sin2(u)cos(u)du5\int \left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{5}\right)\, du = - \frac{2 \int \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. que u=sin(u)u = \sin{\left(u \right)}.

            Luego que du=cos(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

            u2du\int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin3(u)3\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin3(u)15- \frac{2 \sin^{3}{\left(u \right)}}{15}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          cos(u)5du=cos(u)du5\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. La integral del coseno es seno:

            cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

        El resultado es: sin5(u)252sin3(u)15+sin(u)5\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{25} - \frac{2 \sin^{3}{\left(u \right)}}{15} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin5(5x)252sin3(5x)15+sin(5x)5\frac{\sin^{5}{\left(5 x \right)}}{25} - \frac{2 \sin^{3}{\left(5 x \right)}}{15} + \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1sin2(5x))2cos(5x)=sin4(5x)cos(5x)2sin2(5x)cos(5x)+cos(5x)\left(1 - \sin^{2}{\left(5 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(5 x \right)} = \sin^{4}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sin(5x)u = \sin{\left(5 x \right)}.

        Luego que du=5cos(5x)dxdu = 5 \cos{\left(5 x \right)} dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        u45du\int \frac{u^{4}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          u4du=u4du5\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{5}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: u525\frac{u^{5}}{25}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin5(5x)25\frac{\sin^{5}{\left(5 x \right)}}{25}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (2sin2(5x)cos(5x))dx=2sin2(5x)cos(5x)dx\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\, dx

        1. que u=sin(5x)u = \sin{\left(5 x \right)}.

          Luego que du=5cos(5x)dxdu = 5 \cos{\left(5 x \right)} dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          u25du\int \frac{u^{2}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            u2du=u2du5\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{5}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: u315\frac{u^{3}}{15}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin3(5x)15\frac{\sin^{3}{\left(5 x \right)}}{15}

        Por lo tanto, el resultado es: 2sin3(5x)15- \frac{2 \sin^{3}{\left(5 x \right)}}{15}

      1. que u=5xu = 5 x.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        cos(u)5du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          cos(u)du=cos(u)du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. La integral del coseno es seno:

            cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

      El resultado es: sin5(5x)252sin3(5x)15+sin(5x)5\frac{\sin^{5}{\left(5 x \right)}}{25} - \frac{2 \sin^{3}{\left(5 x \right)}}{15} + \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1sin2(5x))2cos(5x)=sin4(5x)cos(5x)2sin2(5x)cos(5x)+cos(5x)\left(1 - \sin^{2}{\left(5 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(5 x \right)} = \sin^{4}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sin(5x)u = \sin{\left(5 x \right)}.

        Luego que du=5cos(5x)dxdu = 5 \cos{\left(5 x \right)} dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        u45du\int \frac{u^{4}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          u4du=u4du5\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{5}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: u525\frac{u^{5}}{25}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin5(5x)25\frac{\sin^{5}{\left(5 x \right)}}{25}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (2sin2(5x)cos(5x))dx=2sin2(5x)cos(5x)dx\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\, dx

        1. que u=sin(5x)u = \sin{\left(5 x \right)}.

          Luego que du=5cos(5x)dxdu = 5 \cos{\left(5 x \right)} dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          u25du\int \frac{u^{2}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            u2du=u2du5\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{5}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: u315\frac{u^{3}}{15}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin3(5x)15\frac{\sin^{3}{\left(5 x \right)}}{15}

        Por lo tanto, el resultado es: 2sin3(5x)15- \frac{2 \sin^{3}{\left(5 x \right)}}{15}

      1. que u=5xu = 5 x.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        cos(u)5du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          cos(u)du=cos(u)du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. La integral del coseno es seno:

            cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

      El resultado es: sin5(5x)252sin3(5x)15+sin(5x)5\frac{\sin^{5}{\left(5 x \right)}}{25} - \frac{2 \sin^{3}{\left(5 x \right)}}{15} + \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

  3. Ahora simplificar:

    (3sin4(5x)10sin2(5x)+15)sin(5x)75\frac{\left(3 \sin^{4}{\left(5 x \right)} - 10 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 15\right) \sin{\left(5 x \right)}}{75}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (3sin4(5x)10sin2(5x)+15)sin(5x)75+constant\frac{\left(3 \sin^{4}{\left(5 x \right)} - 10 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 15\right) \sin{\left(5 x \right)}}{75}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

(3sin4(5x)10sin2(5x)+15)sin(5x)75+constant\frac{\left(3 \sin^{4}{\left(5 x \right)} - 10 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 15\right) \sin{\left(5 x \right)}}{75}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                     
 |                         3                      5     
 |    5               2*sin (5*x)   sin(5*x)   sin (5*x)
 | cos (5*x) dx = C - ----------- + -------- + ---------
 |                         15          5           25   
/                                                       
cos5(5x)dx=C+sin5(5x)252sin3(5x)15+sin(5x)5\int \cos^{5}{\left(5 x \right)}\, dx = C + \frac{\sin^{5}{\left(5 x \right)}}{25} - \frac{2 \sin^{3}{\left(5 x \right)}}{15} + \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
Respuesta [src]
       3                  5   
  2*sin (5)   sin(5)   sin (5)
- --------- + ------ + -------
      15        5         25  
sin(5)5+sin5(5)252sin3(5)15\frac{\sin{\left(5 \right)}}{5} + \frac{\sin^{5}{\left(5 \right)}}{25} - \frac{2 \sin^{3}{\left(5 \right)}}{15}
=
=
       3                  5   
  2*sin (5)   sin(5)   sin (5)
- --------- + ------ + -------
      15        5         25  
sin(5)5+sin5(5)252sin3(5)15\frac{\sin{\left(5 \right)}}{5} + \frac{\sin^{5}{\left(5 \right)}}{25} - \frac{2 \sin^{3}{\left(5 \right)}}{15}
-2*sin(5)^3/15 + sin(5)/5 + sin(5)^5/25
Respuesta numérica [src]
-0.10664875037153
-0.10664875037153

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.