Integral de (cosx+10sin5x) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 10 \sin{\left(5 x \right)}\, dx = 10 \int \sin{\left(5 x \right)}\, dx$

      1. que $u = 5 x$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \cos{\left(5 x \right)}$

   1. La integral del coseno es seno:

      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

   El resultado es: $\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(5 x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(5 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(5 x \right)}+ \mathrm{constant}$