Integral de sin(3x)/(cos(3x))^(2/7) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \cos^{\frac{2}{7}}{\left(u \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos^{\frac{2}{7}}{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos^{\frac{2}{7}}{\left(u \right)}}\, du}{3}$

         1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u^{\frac{2}{7}}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{2}{7}}}\, du = - \int \frac{1}{u^{\frac{2}{7}}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{\frac{2}{7}}}\, du = \frac{7 u^{\frac{5}{7}}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 u^{\frac{5}{7}}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{7 \cos^{\frac{5}{7}}{\left(u \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 \cos^{\frac{5}{7}}{\left(u \right)}}{15}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{7 \cos^{\frac{5}{7}}{\left(3 x \right)}}{15}$

   Método #2

   1. que $u = \cos^{\frac{2}{7}}{\left(3 x \right)}$.

      Luego que $du = - \frac{6 \sin{\left(3 x \right)} dx}{7 \cos^{\frac{5}{7}}{\left(3 x \right)}}$ y ponemos $- \frac{7 du}{6}$:

      $\int \left(- \frac{7 u^{\frac{3}{2}}}{6}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{\frac{3}{2}}\, du = - \frac{7 \int u^{\frac{3}{2}}\, du}{6}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{\frac{3}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 u^{\frac{5}{2}}}{15}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{7 \cos^{\frac{5}{7}}{\left(3 x \right)}}{15}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{7 \cos^{\frac{5}{7}}{\left(3 x \right)}}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{7 \cos^{\frac{5}{7}}{\left(3 x \right)}}{15}+ \mathrm{constant}$