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Resolución de integrales/ ln(n)/n^2

Integral de ln(n)/n^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo          
  /          
 |           
 |  log(n)   
 |  ------ dn
 |     2     
 |    n      
 |           
/            
1
∫1∞log⁡(n)n2 dn\int\limits_{1}^{\infty} \frac{\log{\left(n \right)}}{n^{2}}\, dn 
Integral(log(n)/n^2, (n, 1, oo))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(n)u = \log{\left(n \right)}.

      Luego que du=dnndu = \frac{dn}{n} y ponemos dudu:

      ∫ue−u du\int u e^{- u}\, du

      1. que u=−uu = - u.

        Luego que du=−dudu = - du y ponemos dudu:

        ∫ueu du\int u e^{u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de la función exponencial es la mesma.

          ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −ue−u−e−u- u e^{- u} - e^{- u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(n)n−1n- \frac{\log{\left(n \right)}}{n} - \frac{1}{n}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(n)=log⁡(n)u{\left(n \right)} = \log{\left(n \right)} y que dv⁡(n)=1n2\operatorname{dv}{\left(n \right)} = \frac{1}{n^{2}}.

      Entonces du⁡(n)=1n\operatorname{du}{\left(n \right)} = \frac{1}{n}.

      Para buscar v(n)v{\left(n \right)}:

      1. Integral nnn^{n} es nn+1n+1\frac{n^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1n2 dn=−1n\int \frac{1}{n^{2}}\, dn = - \frac{1}{n}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−1n2) dn=−∫1n2 dn\int \left(- \frac{1}{n^{2}}\right)\, dn = - \int \frac{1}{n^{2}}\, dn

      1. Integral nnn^{n} es nn+1n+1\frac{n^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1n2 dn=−1n\int \frac{1}{n^{2}}\, dn = - \frac{1}{n}

      Por lo tanto, el resultado es: 1n\frac{1}{n}

  2. Ahora simplificar:

    −log⁡(n)+1n- \frac{\log{\left(n \right)} + 1}{n}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(n)+1n+constant- \frac{\log{\left(n \right)} + 1}{n}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(n)+1n+constant- \frac{\log{\left(n \right)} + 1}{n}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                          
 |                           
 | log(n)          1   log(n)
 | ------ dn = C - - - ------
 |    2            n     n   
 |   n                       
 |                           
/
∫log⁡(n)n2 dn=C−log⁡(n)n−1n\int \frac{\log{\left(n \right)}}{n^{2}}\, dn = C - \frac{\log{\left(n \right)}}{n} - \frac{1}{n}
Simplificar
Gráfica
1.00001.01001.00101.00201.00301.00401.00501.00601.00701.00801.00901-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1
11 
=
= 
1
11 
1

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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