Integral de cos(3x)^(1/2)*sin(3x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cos{\left(3 x \right)}$.

      Luego que $du = - 3 \sin{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{\sqrt{u}}{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = - \frac{\int \sqrt{u}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \cos^{\frac{3}{2}}{\left(3 x \right)}}{9}$

   Método #2

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)} \sqrt{\cos{\left(u \right)}}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)} \sqrt{\cos{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)} \sqrt{\cos{\left(u \right)}}\, du}{3}$

         1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \sqrt{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sqrt{u}\, du = - \int \sqrt{u}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2 \cos^{\frac{3}{2}}{\left(u \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \cos^{\frac{3}{2}}{\left(u \right)}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \cos^{\frac{3}{2}}{\left(3 x \right)}}{9}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 \cos^{\frac{3}{2}}{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 \cos^{\frac{3}{2}}{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$