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Resolución de integrales/ (4x-1)/ sin(x/4)/ (4x-1)*sin(x/4)

Integral de (4x-1)*sin(x/4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 157                   
 ---                   
  25                   
  /                    
 |                     
 |               /x\   
 |  (4*x - 1)*sin|-| dx
 |               \4/   
 |                     
/                      
0
∫015725(4x−1)sin⁡(x4) dx\int\limits_{0}^{\frac{157}{25}} \left(4 x - 1\right) \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx 
Integral((4*x - 1)*sin(x/4), (x, 0, 157/25))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x−1)sin⁡(x4)=4xsin⁡(x4)−sin⁡(x4)\left(4 x - 1\right) \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} = 4 x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xsin⁡(x4) dx=4∫xsin⁡(x4) dx\int 4 x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = 4 \int x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

            Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

            ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −4cos⁡(x4)- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4cos⁡(x4)) dx=−4∫cos⁡(x4) dx\int \left(- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

          1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

            Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

            ∫4cos⁡(u) du\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=4∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(u)4 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            4sin⁡(x4)4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −16sin⁡(x4)- 16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −16xcos⁡(x4)+64sin⁡(x4)- 16 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 64 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(x4)) dx=−∫sin⁡(x4) dx\int \left(- \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

        1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

          Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

          ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −4cos⁡(x4)- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4cos⁡(x4)4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

      El resultado es: −16xcos⁡(x4)+64sin⁡(x4)+4cos⁡(x4)- 16 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 64 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=4x−1u{\left(x \right)} = 4 x - 1 y que dv⁡(x)=sin⁡(x4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=4\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

        Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

        ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −4cos⁡(x4)- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−16cos⁡(x4)) dx=−16∫cos⁡(x4) dx\int \left(- 16 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)\, dx = - 16 \int \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

      1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

        Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

        ∫4cos⁡(u) du\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=4∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(u)4 \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        4sin⁡(x4)4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −64sin⁡(x4)- 64 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x−1)sin⁡(x4)=4xsin⁡(x4)−sin⁡(x4)\left(4 x - 1\right) \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} = 4 x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xsin⁡(x4) dx=4∫xsin⁡(x4) dx\int 4 x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = 4 \int x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

            Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

            ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −4cos⁡(x4)- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4cos⁡(x4)) dx=−4∫cos⁡(x4) dx\int \left(- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

          1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

            Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

            ∫4cos⁡(u) du\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=4∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(u)4 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            4sin⁡(x4)4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −16sin⁡(x4)- 16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −16xcos⁡(x4)+64sin⁡(x4)- 16 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 64 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(x4)) dx=−∫sin⁡(x4) dx\int \left(- \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

        1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

          Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

          ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −4cos⁡(x4)- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4cos⁡(x4)4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

      El resultado es: −16xcos⁡(x4)+64sin⁡(x4)+4cos⁡(x4)- 16 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 64 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −16xcos⁡(x4)+64sin⁡(x4)+4cos⁡(x4)+constant- 16 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 64 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−16xcos⁡(x4)+64sin⁡(x4)+4cos⁡(x4)+constant- 16 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 64 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                                                             
 |              /x\               /x\         /x\           /x\
 | (4*x - 1)*sin|-| dx = C + 4*cos|-| + 64*sin|-| - 16*x*cos|-|
 |              \4/               \4/         \4/           \4/
 |                                                             
/
∫(4x−1)sin⁡(x4) dx=C−16xcos⁡(x4)+64sin⁡(x4)+4cos⁡(x4)\int \left(4 x - 1\right) \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = C - 16 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} + 64 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.0-50100
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                           /157\
                   2412*cos|---|
           /157\           \100/
-4 + 64*sin|---| - -------------
           \100/         25
−4−2412cos⁡(157100)25+64sin⁡(157100)-4 - \frac{2412 \cos{\left(\frac{157}{100} \right)}}{25} + 64 \sin{\left(\frac{157}{100} \right)} 
=
= 
                           /157\
                   2412*cos|---|
           /157\           \100/
-4 + 64*sin|---| - -------------
           \100/         25
−4−2412cos⁡(157100)25+64sin⁡(157100)-4 - \frac{2412 \cos{\left(\frac{157}{100} \right)}}{25} + 64 \sin{\left(\frac{157}{100} \right)} 
-4 + 64*sin(157/100) - 2412*cos(157/100)/25
Respuesta numérica [src] 
59.9231501065859
59.9231501065859

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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