Integral de 1/(cbrt(2x+1))+(sqrt(2x+1)) dx

1. Integramos término a término:

   1. que $u = 2 x + 1$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\sqrt{u}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

   1. que $u = \sqrt[3]{2 x + 1}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{3 \left(2 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $\frac{3 du}{2}$:

      $\int \frac{3 u}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = \frac{3 \int u\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{2}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 \left(2 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{4}$

   El resultado es: $\frac{3 \left(2 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \left(2 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \left(2 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \left(2 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$