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Resolución de integrales/ (1-x)/ sin(x/4)/ (1-x)sin(x/4)dx

Integral de (1-x)sin(x/4)dx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |             /x\   
 |  (1 - x)*sin|-| dx
 |             \4/   
 |                   
/                    
0
∫01(1−x)sin⁡(x4) dx\int\limits_{0}^{1} \left(1 - x\right) \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx 
Integral((1 - x)*sin(x/4), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

      ∫(usin⁡(u4)+sin⁡(u4)) du\int \left(u \sin{\left(\frac{u}{4} \right)} + \sin{\left(\frac{u}{4} \right)}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=sin⁡(u4)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(\frac{u}{4} \right)}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=u4u = \frac{u}{4}.

            Luego que du=du4du = \frac{du}{4} y ponemos 4du4 du:

            ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −4cos⁡(u4)- 4 \cos{\left(\frac{u}{4} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4cos⁡(u4)) du=−4∫cos⁡(u4) du\int \left(- 4 \cos{\left(\frac{u}{4} \right)}\right)\, du = - 4 \int \cos{\left(\frac{u}{4} \right)}\, du

          1. que u=u4u = \frac{u}{4}.

            Luego que du=du4du = \frac{du}{4} y ponemos 4du4 du:

            ∫4cos⁡(u) du\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=4∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(u)4 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            4sin⁡(u4)4 \sin{\left(\frac{u}{4} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −16sin⁡(u4)- 16 \sin{\left(\frac{u}{4} \right)}

        1. que u=u4u = \frac{u}{4}.

          Luego que du=du4du = \frac{du}{4} y ponemos 4du4 du:

          ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −4cos⁡(u4)- 4 \cos{\left(\frac{u}{4} \right)}

        El resultado es: −4ucos⁡(u4)+16sin⁡(u4)−4cos⁡(u4)- 4 u \cos{\left(\frac{u}{4} \right)} + 16 \sin{\left(\frac{u}{4} \right)} - 4 \cos{\left(\frac{u}{4} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      4xcos⁡(x4)−16sin⁡(x4)−4cos⁡(x4)4 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} - 16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−x)sin⁡(x4)=−xsin⁡(x4)+sin⁡(x4)\left(1 - x\right) \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} = - x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xsin⁡(x4)) dx=−∫xsin⁡(x4) dx\int \left(- x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)\, dx = - \int x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

            Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

            ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −4cos⁡(x4)- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4cos⁡(x4)) dx=−4∫cos⁡(x4) dx\int \left(- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

          1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

            Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

            ∫4cos⁡(u) du\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=4∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(u)4 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            4sin⁡(x4)4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −16sin⁡(x4)- 16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4xcos⁡(x4)−16sin⁡(x4)4 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} - 16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

      1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

        Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

        ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −4cos⁡(x4)- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

      El resultado es: 4xcos⁡(x4)−16sin⁡(x4)−4cos⁡(x4)4 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} - 16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=1−xu{\left(x \right)} = 1 - x y que dv⁡(x)=sin⁡(x4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−1\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

        Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

        ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −4cos⁡(x4)- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫4cos⁡(x4) dx=4∫cos⁡(x4) dx\int 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = 4 \int \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

      1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

        Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

        ∫4cos⁡(u) du\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=4∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(u)4 \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        4sin⁡(x4)4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 16sin⁡(x4)16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−x)sin⁡(x4)=−xsin⁡(x4)+sin⁡(x4)\left(1 - x\right) \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} = - x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xsin⁡(x4)) dx=−∫xsin⁡(x4) dx\int \left(- x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)\, dx = - \int x \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

            Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

            ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −4cos⁡(x4)- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4cos⁡(x4)) dx=−4∫cos⁡(x4) dx\int \left(- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx

          1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

            Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

            ∫4cos⁡(u) du\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=4∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 4 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(u)4 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            4sin⁡(x4)4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −16sin⁡(x4)- 16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4xcos⁡(x4)−16sin⁡(x4)4 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} - 16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}

      1. que u=x4u = \frac{x}{4}.

        Luego que du=dx4du = \frac{dx}{4} y ponemos 4du4 du:

        ∫4sin⁡(u) du\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 4 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)- 4 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −4cos⁡(x4)- 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

      El resultado es: 4xcos⁡(x4)−16sin⁡(x4)−4cos⁡(x4)4 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} - 16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    4xcos⁡(x4)−16sin⁡(x4)−4cos⁡(x4)+constant4 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} - 16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

4xcos⁡(x4)−16sin⁡(x4)−4cos⁡(x4)+constant4 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} - 16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                         
 |                                                          
 |            /x\                /x\        /x\          /x\
 | (1 - x)*sin|-| dx = C - 16*sin|-| - 4*cos|-| + 4*x*cos|-|
 |            \4/                \4/        \4/          \4/
 |                                                          
/
∫(1−x)sin⁡(x4) dx=C+4xcos⁡(x4)−16sin⁡(x4)−4cos⁡(x4)\int \left(1 - x\right) \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = C + 4 x \cos{\left(\frac{x}{4} \right)} - 16 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} - 4 \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
4 - 16*sin(1/4)
4−16sin⁡(14)4 - 16 \sin{\left(\frac{1}{4} \right)} 
=
= 
4 - 16*sin(1/4)
4−16sin⁡(14)4 - 16 \sin{\left(\frac{1}{4} \right)} 
4 - 16*sin(1/4)
Respuesta numérica [src] 
0.0415366519276331
0.0415366519276331

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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