Integral de (exp(exp(-3*x)))/exp(3*x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{e^{- 3 x}}$.

      Luego que $du = - 3 e^{- 3 x} e^{e^{- 3 x}} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{1}{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e^{e^{- 3 x}}}{3}$

   Método #2

   1. que $u = e^{- 3 x}$.

      Luego que $du = - 3 e^{- 3 x} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e^{e^{- 3 x}}}{3}$

   Método #3

   1. que $u = \frac{1}{e^{3 x}}$.

      Luego que $du = - 3 e^{- 3 x} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{e^{u}}{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e^{\frac{1}{e^{3 x}}}}{3}$

   Método #4

   1. que $u = e^{3 x}$.

      Luego que $du = 3 e^{3 x} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{e^{\frac{1}{u}}}{3 u^{2}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du}{3}$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- e^{\frac{1}{u}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{\frac{1}{u}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e^{e^{- 3 x}}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{e^{e^{- 3 x}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{e^{e^{- 3 x}}}{3}+ \mathrm{constant}$