Integral de (e^sqrtx+x^2)/sqrtx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{4} + 2 e^{u}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

         El resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5} + 2 e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 e^{\sqrt{x}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{\sqrt{x}} + x^{2}}{\sqrt{x}} = \frac{x^{2}}{\sqrt{x}} + \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

         $\int \left(- \frac{2}{u^{6}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{5 u^{5}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

         $\int \left(- \frac{2 e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du = - 2 \int \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du$

            1. que $u = \frac{1}{u}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- e^{\frac{1}{u}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{\frac{1}{u}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 e^{\sqrt{x}}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 e^{\sqrt{x}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 e^{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 e^{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$