Integral de ctg(x/2)/2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{2}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

         Luego que $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

         $\int \frac{2}{u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$

      Método #2

      1. que $u = \frac{x}{2}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

         $\int \frac{2 \cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du = 2 \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du$

            1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$