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Resolución de integrales/ x^2+7/ cos(x)/ (x^2+7x+12)*cos(x)

Integral de (x^2+7x+12)*cos(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                          
  /                          
 |                           
 |  / 2           \          
 |  \x  + 7*x + 12/*cos(x) dx
 |                           
/                            
-4
∫−41((x2+7x)+12)cos⁡(x) dx\int\limits_{-4}^{1} \left(\left(x^{2} + 7 x\right) + 12\right) \cos{\left(x \right)}\, dx 
Integral((x^2 + 7*x + 12)*cos(x), (x, -4, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ((x2+7x)+12)cos⁡(x)=x2cos⁡(x)+7xcos⁡(x)+12cos⁡(x)\left(\left(x^{2} + 7 x\right) + 12\right) \cos{\left(x \right)} = x^{2} \cos{\left(x \right)} + 7 x \cos{\left(x \right)} + 12 \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=2xu{\left(x \right)} = 2 x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cos⁡(x)) dx=−2∫cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(x)- 2 \sin{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7xcos⁡(x) dx=7∫xcos⁡(x) dx\int 7 x \cos{\left(x \right)}\, dx = 7 \int x \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 7xsin⁡(x)+7cos⁡(x)7 x \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12cos⁡(x) dx=12∫cos⁡(x) dx\int 12 \cos{\left(x \right)}\, dx = 12 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 12sin⁡(x)12 \sin{\left(x \right)}

      El resultado es: x2sin⁡(x)+7xsin⁡(x)+2xcos⁡(x)+10sin⁡(x)+7cos⁡(x)x^{2} \sin{\left(x \right)} + 7 x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} + 10 \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x2+7x+12u{\left(x \right)} = x^{2} + 7 x + 12 y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2x+7\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x + 7.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=2x+7u{\left(x \right)} = 2 x + 7 y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2cos⁡(x)) dx=−2∫cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(x)- 2 \sin{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x2sin⁡(x)+7xsin⁡(x)+2xcos⁡(x)+10sin⁡(x)+7cos⁡(x)+constantx^{2} \sin{\left(x \right)} + 7 x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} + 10 \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2sin⁡(x)+7xsin⁡(x)+2xcos⁡(x)+10sin⁡(x)+7cos⁡(x)+constantx^{2} \sin{\left(x \right)} + 7 x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} + 10 \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                          
 |                                                                                           
 | / 2           \                                         2                                 
 | \x  + 7*x + 12/*cos(x) dx = C + 7*cos(x) + 10*sin(x) + x *sin(x) + 2*x*cos(x) + 7*x*sin(x)
 |                                                                                           
/
∫((x2+7x)+12)cos⁡(x) dx=C+x2sin⁡(x)+7xsin⁡(x)+2xcos⁡(x)+10sin⁡(x)+7cos⁡(x)\int \left(\left(x^{2} + 7 x\right) + 12\right) \cos{\left(x \right)}\, dx = C + x^{2} \sin{\left(x \right)} + 7 x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} + 10 \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
-4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.51.00.00.5-2525
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-2*sin(4) + 9*cos(1) + 18*sin(1) + cos(4)
cos⁡(4)−2sin⁡(4)+9cos⁡(1)+18sin⁡(1)\cos{\left(4 \right)} - 2 \sin{\left(4 \right)} + 9 \cos{\left(1 \right)} + 18 \sin{\left(1 \right)} 
=
= 
-2*sin(4) + 9*cos(1) + 18*sin(1) + cos(4)
cos⁡(4)−2sin⁡(4)+9cos⁡(1)+18sin⁡(1)\cos{\left(4 \right)} - 2 \sin{\left(4 \right)} + 9 \cos{\left(1 \right)} + 18 \sin{\left(1 \right)} 
-2*sin(4) + 9*cos(1) + 18*sin(1) + cos(4)
Respuesta numérica [src] 
20.8691598491076
20.8691598491076

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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