Integral de (4^(x)^(1/2))/x^(1/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4^{\sqrt{x}}$.

      Luego que $du = \frac{4^{\sqrt{x}} \log{\left(4 \right)} dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $\frac{du}{\log{\left(2 \right)}}$:

      $\int \frac{1}{\log{\left(2 \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1\, du = \frac{\int 1\, du}{\log{\left(2 \right)}}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{\log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4^{\sqrt{x}}}{\log{\left(2 \right)}}$

   Método #2

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 \cdot 4^{u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4^{u}\, du = 2 \int 4^{u}\, du$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 4^{u}\, du = \frac{4^{u}}{\log{\left(4 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cdot 4^{u}}{\log{\left(4 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \cdot 4^{\sqrt{x}}}{\log{\left(4 \right)}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4^{\sqrt{x}}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4^{\sqrt{x}}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$