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Resolución de integrales/ x^2+y/ 2-y^2/ x^2-y/ (x^2+y^2)*e^(-x^2-y^2)

Integral de (x^2+y^2)*e^(-x^2-y^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  2                        
 x                         
  /                        
 |                         
 |                2    2   
 |  / 2    2\  - x  - y    
 |  \x  + y /*E          dx
 |                         
/                          
0
∫0x2e−x2−y2(x2+y2) dx\int\limits_{0}^{x^{2}} e^{- x^{2} - y^{2}} \left(x^{2} + y^{2}\right)\, dx 
Integral((x^2 + y^2)*E^(-x^2 - y^2), (x, 0, x^2))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    e−x2−y2(x2+y2)=x2e−x2e−y2+y2e−x2e−y2e^{- x^{2} - y^{2}} \left(x^{2} + y^{2}\right) = x^{2} e^{- x^{2}} e^{- y^{2}} + y^{2} e^{- x^{2}} e^{- y^{2}}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫x2e−x2e−y2 dx=e−y2∫x2e−x2 dx\int x^{2} e^{- x^{2}} e^{- y^{2}}\, dx = e^{- y^{2}} \int x^{2} e^{- x^{2}}\, dx

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=e−x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x^{2}}.

        Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          ErfRule(a=-1, b=0, c=0, context=exp(-x**2), symbol=x)

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫πxerf⁡(x) dx=π∫xerf⁡(x) dx\int \sqrt{\pi} x \operatorname{erf}{\left(x \right)}\, dx = \sqrt{\pi} \int x \operatorname{erf}{\left(x \right)}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          x2erf⁡(x)2+xe−x22π−erf⁡(x)4\frac{x^{2} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2} + \frac{x e^{- x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} - \frac{\operatorname{erf}{\left(x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: π(x2erf⁡(x)2+xe−x22π−erf⁡(x)4)\sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2} + \frac{x e^{- x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} - \frac{\operatorname{erf}{\left(x \right)}}{4}\right)

      Por lo tanto, el resultado es: (πx2erf⁡(x)2−π(x2erf⁡(x)2+xe−x22π−erf⁡(x)4))e−y2\left(\frac{\sqrt{\pi} x^{2} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2} + \frac{x e^{- x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} - \frac{\operatorname{erf}{\left(x \right)}}{4}\right)\right) e^{- y^{2}}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫y2e−x2e−y2 dx=y2e−y2∫e−x2 dx\int y^{2} e^{- x^{2}} e^{- y^{2}}\, dx = y^{2} e^{- y^{2}} \int e^{- x^{2}}\, dx

        ErfRule(a=-1, b=0, c=0, context=exp(-x**2), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: πy2e−y2erf⁡(x)2\frac{\sqrt{\pi} y^{2} e^{- y^{2}} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2}

    El resultado es: πy2e−y2erf⁡(x)2+(πx2erf⁡(x)2−π(x2erf⁡(x)2+xe−x22π−erf⁡(x)4))e−y2\frac{\sqrt{\pi} y^{2} e^{- y^{2}} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2} + \left(\frac{\sqrt{\pi} x^{2} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2} + \frac{x e^{- x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} - \frac{\operatorname{erf}{\left(x \right)}}{4}\right)\right) e^{- y^{2}}

  3. Ahora simplificar:

    (−2x+2πy2ex2erf⁡(x)+πex2erf⁡(x))e−x2−y24\frac{\left(- 2 x + 2 \sqrt{\pi} y^{2} e^{x^{2}} \operatorname{erf}{\left(x \right)} + \sqrt{\pi} e^{x^{2}} \operatorname{erf}{\left(x \right)}\right) e^{- x^{2} - y^{2}}}{4}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (−2x+2πy2ex2erf⁡(x)+πex2erf⁡(x))e−x2−y24+constant\frac{\left(- 2 x + 2 \sqrt{\pi} y^{2} e^{x^{2}} \operatorname{erf}{\left(x \right)} + \sqrt{\pi} e^{x^{2}} \operatorname{erf}{\left(x \right)}\right) e^{- x^{2} - y^{2}}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(−2x+2πy2ex2erf⁡(x)+πex2erf⁡(x))e−x2−y24+constant\frac{\left(- 2 x + 2 \sqrt{\pi} y^{2} e^{x^{2}} \operatorname{erf}{\left(x \right)} + \sqrt{\pi} e^{x^{2}} \operatorname{erf}{\left(x \right)}\right) e^{- x^{2} - y^{2}}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                          
 |                               /         /                             2 \                   \                            2
 |               2    2          |         |            2              -x  |     ____  2       |    2     ____  2         -y 
 | / 2    2\  - x  - y           |    ____ |  erf(x)   x *erf(x)    x*e    |   \/ pi *x *erf(x)|  -y    \/ pi *y *erf(x)*e   
 | \x  + y /*E          dx = C + |- \/ pi *|- ------ + --------- + --------| + ----------------|*e    + ---------------------
 |                               |         |    4          2           ____|          2        |                  2          
/                                \         \                       2*\/ pi /                   /
∫e−x2−y2(x2+y2) dx=C+πy2e−y2erf⁡(x)2+(πx2erf⁡(x)2−π(x2erf⁡(x)2+xe−x22π−erf⁡(x)4))e−y2\int e^{- x^{2} - y^{2}} \left(x^{2} + y^{2}\right)\, dx = C + \frac{\sqrt{\pi} y^{2} e^{- y^{2}} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2} + \left(\frac{\sqrt{\pi} x^{2} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2} + \frac{x e^{- x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} - \frac{\operatorname{erf}{\left(x \right)}}{4}\right)\right) e^{- y^{2}}
Simplificar
Respuesta [src] 
        4    2                     2                        2
   2  -x   -y      ____    / 2\  -y      ____  2    / 2\  -y 
  x *e   *e      \/ pi *erf\x /*e      \/ pi *y *erf\x /*e   
- ------------ + ------------------- + ----------------------
       2                  4                      2
−x2e−x4e−y22+πy2e−y2erf⁡(x2)2+πe−y2erf⁡(x2)4- \frac{x^{2} e^{- x^{4}} e^{- y^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{\pi} y^{2} e^{- y^{2}} \operatorname{erf}{\left(x^{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{\pi} e^{- y^{2}} \operatorname{erf}{\left(x^{2} \right)}}{4} 
=
= 
        4    2                     2                        2
   2  -x   -y      ____    / 2\  -y      ____  2    / 2\  -y 
  x *e   *e      \/ pi *erf\x /*e      \/ pi *y *erf\x /*e   
- ------------ + ------------------- + ----------------------
       2                  4                      2
−x2e−x4e−y22+πy2e−y2erf⁡(x2)2+πe−y2erf⁡(x2)4- \frac{x^{2} e^{- x^{4}} e^{- y^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{\pi} y^{2} e^{- y^{2}} \operatorname{erf}{\left(x^{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{\pi} e^{- y^{2}} \operatorname{erf}{\left(x^{2} \right)}}{4} 
-x^2*exp(-x^4)*exp(-y^2)/2 + sqrt(pi)*erf(x^2)*exp(-y^2)/4 + sqrt(pi)*y^2*erf(x^2)*exp(-y^2)/2

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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