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Resolución de integrales/ sin^2/ cos^3/ cos^3x/(sin^2x)

Integral de cos^3x/(sin^2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     3      
 |  cos (x)   
 |  ------- dx
 |     2      
 |  sin (x)   
 |            
/             
0
∫01cos⁡3(x)sin⁡2(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(cos(x)^3/sin(x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos⁡3(x)sin⁡2(x)=(1−sin⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡2(x)\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

      Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

      ∫(−u2−1u2) du\int \left(- \frac{u^{2} - 1}{u^{2}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u2−1u2 du=−∫u2−1u2 du\int \frac{u^{2} - 1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{u^{2} - 1}{u^{2}}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u2−1u2=1−1u2\frac{u^{2} - 1}{u^{2}} = 1 - \frac{1}{u^{2}}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1u2) du=−∫1u2 du\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 1u\frac{1}{u}

          El resultado es: u+1uu + \frac{1}{u}

        Por lo tanto, el resultado es: −u−1u- u - \frac{1}{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −sin⁡(x)−1sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡2(x)=−sin⁡2(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡2(x)\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sin⁡2(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡2(x)) dx=−∫sin⁡2(x)cos⁡(x)−cos⁡(x)sin⁡2(x) dx\int \left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u2−1u2 du\int \frac{u^{2} - 1}{u^{2}}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u2−1u2=1−1u2\frac{u^{2} - 1}{u^{2}} = 1 - \frac{1}{u^{2}}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1u2) du=−∫1u2 du\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 1u\frac{1}{u}

          El resultado es: u+1uu + \frac{1}{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(x)+1sin⁡(x)\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}

      Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)−1sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))cos⁡(x)sin⁡2(x)=−cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡2(x)\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = - \cos{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x) dx\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)}

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −1sin⁡(x)- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}

      El resultado es: −sin⁡(x)−1sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −sin⁡(x)−1sin⁡(x)+constant- \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−sin⁡(x)−1sin⁡(x)+constant- \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                
 |                                 
 |    3                            
 | cos (x)            1            
 | ------- dx = C - ------ - sin(x)
 |    2             sin(x)         
 | sin (x)                         
 |                                 
/
∫cos⁡3(x)sin⁡2(x) dx=C−sin⁡(x)−1sin⁡(x)\int \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx = C - \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-50000000100000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
1.3793236779486e+19
1.3793236779486e+19

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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