Integral de ln(1-2x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - 2 x$.

      Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \log{\left(u \right)}\, du = - \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u \log{\left(u \right)}}{2} + \frac{u}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- x - \frac{\left(1 - 2 x\right) \log{\left(1 - 2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(1 - 2 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{1 - 2 x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{2 x}{1 - 2 x}\right)\, dx = - 2 \int \frac{x}{1 - 2 x}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{1 - 2 x} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(2 x - 1\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, dx = - \frac{x}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{2 \left(2 x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x - 1$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$

            El resultado es: $- \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{1 - 2 x} = - \frac{x}{2 x - 1}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{x}{2 x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{2 x - 1}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x}{2 x - 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(2 x - 1\right)}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{2 \left(2 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{2}$

                  1. que $u = 2 x - 1$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$

               El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- x + \frac{\left(2 x - 1\right) \log{\left(1 - 2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- x + \frac{\left(2 x - 1\right) \log{\left(1 - 2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x + \frac{\left(2 x - 1\right) \log{\left(1 - 2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$