Sr Examen

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Integral de ln^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  2           
  /           
 |            
 |     2      
 |  log (x) dx
 |            
/             
0             
02log(x)2dx\int\limits_{0}^{2} \log{\left(x \right)}^{2}\, dx
Integral(log(x)^2, (x, 0, 2))
Solución detallada
  1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

    Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

    u2eudu\int u^{2} e^{u}\, du

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

      Entonces du(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

        eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

      Entonces du(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

        eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      2eudu=2eudu\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

        eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

      Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

    Si ahora sustituir uu más en:

    xlog(x)22xlog(x)+2xx \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x

  2. Ahora simplificar:

    x(log(x)22log(x)+2)x \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 2\right)

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(log(x)22log(x)+2)+constantx \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 2\right)+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x(log(x)22log(x)+2)+constantx \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 2\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                             
 |                                              
 |    2                        2                
 | log (x) dx = C + 2*x + x*log (x) - 2*x*log(x)
 |                                              
/                                               
log(x)2dx=C+xlog(x)22xlog(x)+2x\int \log{\left(x \right)}^{2}\, dx = C + x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x
Gráfica
0.02.00.20.40.60.81.01.21.41.61.80100
Respuesta [src]
                    2   
4 - 4*log(2) + 2*log (2)
4log(2)+2log(2)2+4- 4 \log{\left(2 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}^{2} + 4
=
=
                    2   
4 - 4*log(2) + 2*log (2)
4log(2)+2log(2)2+4- 4 \log{\left(2 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}^{2} + 4
4 - 4*log(2) + 2*log(2)^2
Respuesta numérica [src]
2.18831730559662
2.18831730559662

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.