Integral de t+t*exp(t)+t^3*exp(t)/2 dt

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{t^{3} e^{t}}{2}\, dt = \frac{\int t^{3} e^{t}\, dt}{2}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(t \right)} = t^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = 3 t^{2}$.

         Para buscar $v{\left(t \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{t}\, dt = e^{t}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(t \right)} = 3 t^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = 6 t$.

         Para buscar $v{\left(t \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{t}\, dt = e^{t}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(t \right)} = 6 t$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = 6$.

         Para buscar $v{\left(t \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{t}\, dt = e^{t}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 e^{t}\, dt = 6 \int e^{t}\, dt$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{t}\, dt = e^{t}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 e^{t}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{t^{3} e^{t}}{2} - \frac{3 t^{2} e^{t}}{2} + 3 t e^{t} - 3 e^{t}$

   1. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(t \right)} = t$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(t \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{t}\, dt = e^{t}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{t}\, dt = e^{t}$

      1. Integral $t^{n}$ es $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int t\, dt = \frac{t^{2}}{2}$

      El resultado es: $\frac{t^{2}}{2} + t e^{t} - e^{t}$

   El resultado es: $\frac{t^{3} e^{t}}{2} - \frac{3 t^{2} e^{t}}{2} + \frac{t^{2}}{2} + 4 t e^{t} - 4 e^{t}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{t^{3} e^{t}}{2} - \frac{3 t^{2} e^{t}}{2} + \frac{t^{2}}{2} + 4 t e^{t} - 4 e^{t}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{t^{3} e^{t}}{2} - \frac{3 t^{2} e^{t}}{2} + \frac{t^{2}}{2} + 4 t e^{t} - 4 e^{t}+ \mathrm{constant}$