Integral de exp^(-25x^2)*(-6-6*x+3x^2-5*x^3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- 25 x^{2}} \left(- 5 x^{3} + \left(3 x^{2} + \left(- 6 x - 6\right)\right)\right) = - \left(5 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 6\right) e^{- 25 x^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \left(5 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 6\right) e^{- 25 x^{2}}\right)\, dx = - \int \left(5 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 6\right) e^{- 25 x^{2}}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = 5 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 6$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 25 x^{2}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 15 x^{2} - 6 x + 6$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         ErfRule(a=-25, b=0, c=0, context=exp(-25*x**2), symbol=x)

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sqrt{\pi} \left(15 x^{2} - 6 x + 6\right) \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{10}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} \int \left(15 x^{2} - 6 x + 6\right) \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}\, dx}{10}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(15 x^{2} - 6 x + 6\right) \operatorname{erf}{\left(5 x \right)} = 15 x^{2} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)} - 6 x \operatorname{erf}{\left(5 x \right)} + 6 \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 15 x^{2} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}\, dx = 15 \int x^{2} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}\, dx$

               1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

                  Pero la integral

                  $\frac{x^{3} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{3} + \frac{x^{2} e^{- 25 x^{2}}}{15 \sqrt{\pi}} + \frac{e^{- 25 x^{2}}}{375 \sqrt{\pi}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $5 x^{3} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)} + \frac{x^{2} e^{- 25 x^{2}}}{\sqrt{\pi}} + \frac{e^{- 25 x^{2}}}{25 \sqrt{\pi}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 6 x \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - 6 \int x \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}\, dx$

               1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

                  Pero la integral

                  $\frac{x^{2} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{2} + \frac{x e^{- 25 x^{2}}}{10 \sqrt{\pi}} - \frac{\operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{100}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x^{2} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)} - \frac{3 x e^{- 25 x^{2}}}{5 \sqrt{\pi}} + \frac{3 \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{50}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 6 \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}\, dx = 6 \int \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}\, dx$

               1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

                  Pero la integral

                  $x \operatorname{erf}{\left(5 x \right)} + \frac{e^{- 25 x^{2}}}{5 \sqrt{\pi}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $6 x \operatorname{erf}{\left(5 x \right)} + \frac{6 e^{- 25 x^{2}}}{5 \sqrt{\pi}}$

            El resultado es: $5 x^{3} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)} - 3 x^{2} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)} + \frac{x^{2} e^{- 25 x^{2}}}{\sqrt{\pi}} + 6 x \operatorname{erf}{\left(5 x \right)} - \frac{3 x e^{- 25 x^{2}}}{5 \sqrt{\pi}} + \frac{3 \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{50} + \frac{31 e^{- 25 x^{2}}}{25 \sqrt{\pi}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{\pi} \left(5 x^{3} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)} - 3 x^{2} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)} + \frac{x^{2} e^{- 25 x^{2}}}{\sqrt{\pi}} + 6 x \operatorname{erf}{\left(5 x \right)} - \frac{3 x e^{- 25 x^{2}}}{5 \sqrt{\pi}} + \frac{3 \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{50} + \frac{31 e^{- 25 x^{2}}}{25 \sqrt{\pi}}\right)}{10}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{\pi} \left(5 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 6\right) \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{10} + \frac{\sqrt{\pi} \left(5 x^{3} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)} - 3 x^{2} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)} + \frac{x^{2} e^{- 25 x^{2}}}{\sqrt{\pi}} + 6 x \operatorname{erf}{\left(5 x \right)} - \frac{3 x e^{- 25 x^{2}}}{5 \sqrt{\pi}} + \frac{3 \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{50} + \frac{31 e^{- 25 x^{2}}}{25 \sqrt{\pi}}\right)}{10}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- 25 x^{2}} \left(- 5 x^{3} + \left(3 x^{2} + \left(- 6 x - 6\right)\right)\right) = - 5 x^{3} e^{- 25 x^{2}} + 3 x^{2} e^{- 25 x^{2}} - 6 x e^{- 25 x^{2}} - 6 e^{- 25 x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 5 x^{3} e^{- 25 x^{2}}\right)\, dx = - 5 \int x^{3} e^{- 25 x^{2}}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 25 x^{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            ErfRule(a=-25, b=0, c=0, context=exp(-25*x**2), symbol=x)

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3 \sqrt{\pi} x^{2} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{10}\, dx = \frac{3 \sqrt{\pi} \int x^{2} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}\, dx}{10}$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\frac{x^{3} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{3} + \frac{x^{2} e^{- 25 x^{2}}}{15 \sqrt{\pi}} + \frac{e^{- 25 x^{2}}}{375 \sqrt{\pi}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{3} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{3} + \frac{x^{2} e^{- 25 x^{2}}}{15 \sqrt{\pi}} + \frac{e^{- 25 x^{2}}}{375 \sqrt{\pi}}\right)}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{\pi} x^{3} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{2} + \frac{3 \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{3} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{3} + \frac{x^{2} e^{- 25 x^{2}}}{15 \sqrt{\pi}} + \frac{e^{- 25 x^{2}}}{375 \sqrt{\pi}}\right)}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{2} e^{- 25 x^{2}}\, dx = 3 \int x^{2} e^{- 25 x^{2}}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 25 x^{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            ErfRule(a=-25, b=0, c=0, context=exp(-25*x**2), symbol=x)

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\sqrt{\pi} x \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{5}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} \int x \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}\, dx}{5}$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\frac{x^{2} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{2} + \frac{x e^{- 25 x^{2}}}{10 \sqrt{\pi}} - \frac{\operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{100}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{2} + \frac{x e^{- 25 x^{2}}}{10 \sqrt{\pi}} - \frac{\operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{100}\right)}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sqrt{\pi} x^{2} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{10} - \frac{3 \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{2} + \frac{x e^{- 25 x^{2}}}{10 \sqrt{\pi}} - \frac{\operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{100}\right)}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6 x e^{- 25 x^{2}}\right)\, dx = - 6 \int x e^{- 25 x^{2}}\, dx$

         1. que $u = - 25 x^{2}$.

            Luego que $du = - 50 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{50}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{50}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{50}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 25 x^{2}}}{50}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 e^{- 25 x^{2}}}{25}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6 e^{- 25 x^{2}}\right)\, dx = - 6 \int e^{- 25 x^{2}}\, dx$

         ErfRule(a=-25, b=0, c=0, context=exp(-25*x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{5}$

      El resultado es: $- \frac{\sqrt{\pi} x^{3} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{2} + \frac{3 \sqrt{\pi} x^{2} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{10} - \frac{3 \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{2} + \frac{x e^{- 25 x^{2}}}{10 \sqrt{\pi}} - \frac{\operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{100}\right)}{5} + \frac{3 \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{3} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{3} + \frac{x^{2} e^{- 25 x^{2}}}{15 \sqrt{\pi}} + \frac{e^{- 25 x^{2}}}{375 \sqrt{\pi}}\right)}{2} - \frac{3 \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{3 e^{- 25 x^{2}}}{25}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(50 x^{2} - 30 x - 297 \sqrt{\pi} e^{25 x^{2}} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)} + 62\right) e^{- 25 x^{2}}}{500}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(50 x^{2} - 30 x - 297 \sqrt{\pi} e^{25 x^{2}} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)} + 62\right) e^{- 25 x^{2}}}{500}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(50 x^{2} - 30 x - 297 \sqrt{\pi} e^{25 x^{2}} \operatorname{erf}{\left(5 x \right)} + 62\right) e^{- 25 x^{2}}}{500}+ \mathrm{constant}$