Sr Examen

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Resolución de integrales/ sin(5x)/ (-x-4)*sin(5x)

Integral de (-x-4)*sin(5x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1/8                    
   /                     
  |                      
  |  (-x - 4)*sin(5*x) dx
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-1/8
∫−1818(−x−4)sin⁡(5x) dx\int\limits_{- \frac{1}{8}}^{\frac{1}{8}} \left(- x - 4\right) \sin{\left(5 x \right)}\, dx 
Integral((-x - 4)*sin(5*x), (x, -1/8, 1/8))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

      ∫(usin⁡(5u)−4sin⁡(5u)) du\int \left(u \sin{\left(5 u \right)} - 4 \sin{\left(5 u \right)}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=sin⁡(5u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(5 u \right)}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=5uu = 5 u.

            Luego que du=5dudu = 5 du y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(5u)5- \frac{\cos{\left(5 u \right)}}{5}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(5u)5) du=−∫cos⁡(5u) du5\int \left(- \frac{\cos{\left(5 u \right)}}{5}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(5 u \right)}\, du}{5}

          1. que u=5uu = 5 u.

            Luego que du=5dudu = 5 du y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(5u)5\frac{\sin{\left(5 u \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(5u)25- \frac{\sin{\left(5 u \right)}}{25}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4sin⁡(5u)) du=−4∫sin⁡(5u) du\int \left(- 4 \sin{\left(5 u \right)}\right)\, du = - 4 \int \sin{\left(5 u \right)}\, du

          1. que u=5uu = 5 u.

            Luego que du=5dudu = 5 du y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(5u)5- \frac{\cos{\left(5 u \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: 4cos⁡(5u)5\frac{4 \cos{\left(5 u \right)}}{5}

        El resultado es: −ucos⁡(5u)5+sin⁡(5u)25+4cos⁡(5u)5- \frac{u \cos{\left(5 u \right)}}{5} + \frac{\sin{\left(5 u \right)}}{25} + \frac{4 \cos{\left(5 u \right)}}{5}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xcos⁡(5x)5−sin⁡(5x)25+4cos⁡(5x)5\frac{x \cos{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{4 \cos{\left(5 x \right)}}{5}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (−x−4)sin⁡(5x)=−xsin⁡(5x)−4sin⁡(5x)\left(- x - 4\right) \sin{\left(5 x \right)} = - x \sin{\left(5 x \right)} - 4 \sin{\left(5 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xsin⁡(5x)) dx=−∫xsin⁡(5x) dx\int \left(- x \sin{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - \int x \sin{\left(5 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(5x)5) dx=−∫cos⁡(5x) dx5\int \left(- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(5 x \right)}\, dx}{5}

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(5x)25- \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25}

        Por lo tanto, el resultado es: xcos⁡(5x)5−sin⁡(5x)25\frac{x \cos{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4sin⁡(5x)) dx=−4∫sin⁡(5x) dx\int \left(- 4 \sin{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin{\left(5 x \right)}\, dx

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 4cos⁡(5x)5\frac{4 \cos{\left(5 x \right)}}{5}

      El resultado es: xcos⁡(5x)5−sin⁡(5x)25+4cos⁡(5x)5\frac{x \cos{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{4 \cos{\left(5 x \right)}}{5}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−x−4u{\left(x \right)} = - x - 4 y que dv⁡(x)=sin⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−1\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=5xu = 5 x.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫cos⁡(5x)5 dx=∫cos⁡(5x) dx5\int \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}\, dx = \frac{\int \cos{\left(5 x \right)}\, dx}{5}

      1. que u=5xu = 5 x.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(5x)25\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (−x−4)sin⁡(5x)=−xsin⁡(5x)−4sin⁡(5x)\left(- x - 4\right) \sin{\left(5 x \right)} = - x \sin{\left(5 x \right)} - 4 \sin{\left(5 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xsin⁡(5x)) dx=−∫xsin⁡(5x) dx\int \left(- x \sin{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - \int x \sin{\left(5 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(5x)5) dx=−∫cos⁡(5x) dx5\int \left(- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(5 x \right)}\, dx}{5}

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(5x)25- \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25}

        Por lo tanto, el resultado es: xcos⁡(5x)5−sin⁡(5x)25\frac{x \cos{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4sin⁡(5x)) dx=−4∫sin⁡(5x) dx\int \left(- 4 \sin{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin{\left(5 x \right)}\, dx

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 4cos⁡(5x)5\frac{4 \cos{\left(5 x \right)}}{5}

      El resultado es: xcos⁡(5x)5−sin⁡(5x)25+4cos⁡(5x)5\frac{x \cos{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{4 \cos{\left(5 x \right)}}{5}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xcos⁡(5x)5−sin⁡(5x)25+4cos⁡(5x)5+constant\frac{x \cos{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{4 \cos{\left(5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xcos⁡(5x)5−sin⁡(5x)25+4cos⁡(5x)5+constant\frac{x \cos{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{4 \cos{\left(5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                             
 |                            sin(5*x)   4*cos(5*x)   x*cos(5*x)
 | (-x - 4)*sin(5*x) dx = C - -------- + ---------- + ----------
 |                               25          5            5     
/
∫(−x−4)sin⁡(5x) dx=C+xcos⁡(5x)5−sin⁡(5x)25+4cos⁡(5x)5\int \left(- x - 4\right) \sin{\left(5 x \right)}\, dx = C + \frac{x \cos{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{4 \cos{\left(5 x \right)}}{5}
Simplificar
Gráfica
-0.125-0.100-0.075-0.050-0.0250.1250.0000.0250.0500.0750.1005-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  2*sin(5/8)   cos(5/8)
- ---------- + --------
      25          20
−2sin⁡(58)25+cos⁡(58)20- \frac{2 \sin{\left(\frac{5}{8} \right)}}{25} + \frac{\cos{\left(\frac{5}{8} \right)}}{20} 
=
= 
  2*sin(5/8)   cos(5/8)
- ---------- + --------
      25          20
−2sin⁡(58)25+cos⁡(58)20- \frac{2 \sin{\left(\frac{5}{8} \right)}}{25} + \frac{\cos{\left(\frac{5}{8} \right)}}{20} 
-2*sin(5/8)/25 + cos(5/8)/20
Respuesta numérica [src] 
-0.00625962585997608
-0.00625962585997608

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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