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Resolución de integrales/ x^3-2/ (5*x-1)/ (x^3-2*x)*exp(5*x-1)

Integral de (x^3-2*x)*exp(5*x-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                       
  /                       
 |                        
 |  / 3      \  5*x - 1   
 |  \x  - 2*x/*e        dx
 |                        
/                         
0
∫01(x3−2x)e5x−1 dx\int\limits_{0}^{1} \left(x^{3} - 2 x\right) e^{5 x - 1}\, dx 
Integral((x^3 - 2*x)*exp(5*x - 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x3−2x)e5x−1=x3e5xe−2xe5xe\left(x^{3} - 2 x\right) e^{5 x - 1} = \frac{x^{3} e^{5 x}}{e} - \frac{2 x e^{5 x}}{e}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x3e5xe dx=∫x3e5x dxe\int \frac{x^{3} e^{5 x}}{e}\, dx = \frac{\int x^{3} e^{5 x}\, dx}{e}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x3u{\left(x \right)} = x^{3} y que dv⁡(x)=e5x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{5 x}.

          Entonces du⁡(x)=3x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫eu5 du\int \frac{e^{u}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu5\frac{e^{u}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e5x5\frac{e^{5 x}}{5}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=3x25u{\left(x \right)} = \frac{3 x^{2}}{5} y que dv⁡(x)=e5x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{5 x}.

          Entonces du⁡(x)=6x5\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{6 x}{5}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫eu5 du\int \frac{e^{u}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu5\frac{e^{u}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e5x5\frac{e^{5 x}}{5}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=6x25u{\left(x \right)} = \frac{6 x}{25} y que dv⁡(x)=e5x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{5 x}.

          Entonces du⁡(x)=625\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{6}{25}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫eu5 du\int \frac{e^{u}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu5\frac{e^{u}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e5x5\frac{e^{5 x}}{5}

          Ahora resolvemos podintegral.

        4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫6e5x125 dx=6∫e5x dx125\int \frac{6 e^{5 x}}{125}\, dx = \frac{6 \int e^{5 x}\, dx}{125}

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫eu5 du\int \frac{e^{u}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu5\frac{e^{u}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e5x5\frac{e^{5 x}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: 6e5x625\frac{6 e^{5 x}}{625}

        Por lo tanto, el resultado es: x3e5x5−3x2e5x25+6xe5x125−6e5x625e\frac{\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{5 x}}{625}}{e}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2xe5xe) dx=−2∫xe5x dxe\int \left(- \frac{2 x e^{5 x}}{e}\right)\, dx = - \frac{2 \int x e^{5 x}\, dx}{e}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e5x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{5 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫eu5 du\int \frac{e^{u}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu5\frac{e^{u}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e5x5\frac{e^{5 x}}{5}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e5x5 dx=∫e5x dx5\int \frac{e^{5 x}}{5}\, dx = \frac{\int e^{5 x}\, dx}{5}

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫eu5 du\int \frac{e^{u}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu5\frac{e^{u}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e5x5\frac{e^{5 x}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: e5x25\frac{e^{5 x}}{25}

        Por lo tanto, el resultado es: −2(xe5x5−e5x25)e- \frac{2 \left(\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{5 x}}{25}\right)}{e}

      El resultado es: −2(xe5x5−e5x25)e+x3e5x5−3x2e5x25+6xe5x125−6e5x625e- \frac{2 \left(\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{5 x}}{25}\right)}{e} + \frac{\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{5 x}}{625}}{e}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x3−2x)e5x−1=x3e5xe−2xe5xe\left(x^{3} - 2 x\right) e^{5 x - 1} = \frac{x^{3} e^{5 x}}{e} - \frac{2 x e^{5 x}}{e}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x3e5xe dx=∫x3e5x dxe\int \frac{x^{3} e^{5 x}}{e}\, dx = \frac{\int x^{3} e^{5 x}\, dx}{e}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x3u{\left(x \right)} = x^{3} y que dv⁡(x)=e5x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{5 x}.

          Entonces du⁡(x)=3x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫eu5 du\int \frac{e^{u}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu5\frac{e^{u}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e5x5\frac{e^{5 x}}{5}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=3x25u{\left(x \right)} = \frac{3 x^{2}}{5} y que dv⁡(x)=e5x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{5 x}.

          Entonces du⁡(x)=6x5\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{6 x}{5}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫eu5 du\int \frac{e^{u}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu5\frac{e^{u}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e5x5\frac{e^{5 x}}{5}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=6x25u{\left(x \right)} = \frac{6 x}{25} y que dv⁡(x)=e5x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{5 x}.

          Entonces du⁡(x)=625\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{6}{25}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫eu5 du\int \frac{e^{u}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu5\frac{e^{u}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e5x5\frac{e^{5 x}}{5}

          Ahora resolvemos podintegral.

        4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫6e5x125 dx=6∫e5x dx125\int \frac{6 e^{5 x}}{125}\, dx = \frac{6 \int e^{5 x}\, dx}{125}

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫eu5 du\int \frac{e^{u}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu5\frac{e^{u}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e5x5\frac{e^{5 x}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: 6e5x625\frac{6 e^{5 x}}{625}

        Por lo tanto, el resultado es: x3e5x5−3x2e5x25+6xe5x125−6e5x625e\frac{\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{5 x}}{625}}{e}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2xe5xe) dx=−2∫xe5x dxe\int \left(- \frac{2 x e^{5 x}}{e}\right)\, dx = - \frac{2 \int x e^{5 x}\, dx}{e}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e5x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{5 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫eu5 du\int \frac{e^{u}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu5\frac{e^{u}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e5x5\frac{e^{5 x}}{5}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e5x5 dx=∫e5x dx5\int \frac{e^{5 x}}{5}\, dx = \frac{\int e^{5 x}\, dx}{5}

          1. que u=5xu = 5 x.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫eu5 du\int \frac{e^{u}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu5\frac{e^{u}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e5x5\frac{e^{5 x}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: e5x25\frac{e^{5 x}}{25}

        Por lo tanto, el resultado es: −2(xe5x5−e5x25)e- \frac{2 \left(\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{5 x}}{25}\right)}{e}

      El resultado es: −2(xe5x5−e5x25)e+x3e5x5−3x2e5x25+6xe5x125−6e5x625e- \frac{2 \left(\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{5 x}}{25}\right)}{e} + \frac{\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{5 x}}{625}}{e}

  2. Ahora simplificar:

    (125x3−75x2−220x+44)e5x−1625\frac{\left(125 x^{3} - 75 x^{2} - 220 x + 44\right) e^{5 x - 1}}{625}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (125x3−75x2−220x+44)e5x−1625+constant\frac{\left(125 x^{3} - 75 x^{2} - 220 x + 44\right) e^{5 x - 1}}{625}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(125x3−75x2−220x+44)e5x−1625+constant\frac{\left(125 x^{3} - 75 x^{2} - 220 x + 44\right) e^{5 x - 1}}{625}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                      
 |                              /     5*x      2  5*x    3  5*x        5*x\         /   5*x      5*x\    
 | / 3      \  5*x - 1          |  6*e      3*x *e      x *e      6*x*e   |  -1     |  e      x*e   |  -1
 | \x  - 2*x/*e        dx = C + |- ------ - --------- + ------- + --------|*e   - 2*|- ---- + ------|*e  
 |                              \   625         25         5        125   /         \   25      5   /    
/
∫(x3−2x)e5x−1 dx=C−2(xe5x5−e5x25)e+x3e5x5−3x2e5x25+6xe5x125−6e5x625e\int \left(x^{3} - 2 x\right) e^{5 x - 1}\, dx = C - \frac{2 \left(\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{e^{5 x}}{25}\right)}{e} + \frac{\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{5 x}}{625}}{e}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-10050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       4       -1
  126*e    44*e  
- ------ - ------
   625      625
−126e4625−44625e- \frac{126 e^{4}}{625} - \frac{44}{625 e} 
=
= 
       4       -1
  126*e    44*e  
- ------ - ------
   625      625
−126e4625−44625e- \frac{126 e^{4}}{625} - \frac{44}{625 e} 
-126*exp(4)/625 - 44*exp(-1)/625
Respuesta numérica [src] 
-11.0328857593403
-11.0328857593403

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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