Integral de cos(6x)*sin(3x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)} \cos{\left(2 u \right)}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(2 u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(2 u \right)}\, du}{3}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin{\left(u \right)} \cos{\left(2 u \right)} = 2 \sin{\left(u \right)} \cos^{2}{\left(u \right)} - \sin{\left(u \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 \sin{\left(u \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)} \cos^{2}{\left(u \right)}\, du$

               1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \cos^{3}{\left(u \right)}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \sin{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \sin{\left(u \right)}\, du$

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\cos{\left(u \right)}$

            El resultado es: $- \frac{2 \cos^{3}{\left(u \right)}}{3} + \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \cos^{3}{\left(u \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} = - 128 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 192 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 72 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin^{3}{\left(x \right)} + 96 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 144 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + 54 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 128 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 128 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}$

         2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(u^{8} - u^{6}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

               El resultado es: $\frac{u^{9}}{9} - \frac{u^{7}}{7}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{128 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + \frac{128 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 192 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 192 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}$

         2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(u^{6} - u^{4}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

               El resultado es: $\frac{u^{7}}{7} - \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{192 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{192 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 72 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 72 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

         2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(u^{4} - u^{2}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               El resultado es: $\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{72 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + 24 \cos^{3}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}$

         2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(u^{2} - 1\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \left(-1\right)\, du = - u$

               El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - u$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - 4 \cos{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 96 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx = 96 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{96 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 144 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 144 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{144 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 54 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 54 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 18 \cos^{3}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \cos{\left(x \right)}$

      El resultado es: $- \frac{128 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + 32 \cos^{7}{\left(x \right)} - 24 \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{22 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\cos{\left(3 x \right)}}{6} - \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{18}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\cos{\left(3 x \right)}}{6} - \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{18}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\cos{\left(3 x \right)}}{6} - \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{18}+ \mathrm{constant}$