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Resolución de integrales/ arctan/ tan(t)/ arctan(t)

Integral de arctan(t) dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  t           
  /           
 |            
 |  atan(t) dt
 |            
/             
0
∫0tatan⁡(t) dt\int\limits_{0}^{t} \operatorname{atan}{\left(t \right)}\, dt 
Integral(atan(t), (t, 0, t))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(t)=atan⁡(t)u{\left(t \right)} = \operatorname{atan}{\left(t \right)} y que dv⁡(t)=1\operatorname{dv}{\left(t \right)} = 1.

    Entonces du⁡(t)=1t2+1\operatorname{du}{\left(t \right)} = \frac{1}{t^{2} + 1}.

    Para buscar v(t)v{\left(t \right)}:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dt=t\int 1\, dt = t

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫tt2+1 dt=∫2tt2+1 dt2\int \frac{t}{t^{2} + 1}\, dt = \frac{\int \frac{2 t}{t^{2} + 1}\, dt}{2}

    1. que u=t2+1u = t^{2} + 1.

      Luego que du=2tdtdu = 2 t dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

      1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(t2+1)\log{\left(t^{2} + 1 \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: log⁡(t2+1)2\frac{\log{\left(t^{2} + 1 \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    tatan⁡(t)−log⁡(t2+1)2+constantt \operatorname{atan}{\left(t \right)} - \frac{\log{\left(t^{2} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

tatan⁡(t)−log⁡(t2+1)2+constantt \operatorname{atan}{\left(t \right)} - \frac{\log{\left(t^{2} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                    /     2\            
 |                  log\1 + t /            
 | atan(t) dt = C - ----------- + t*atan(t)
 |                       2                 
/
∫atan⁡(t) dt=C+tatan⁡(t)−log⁡(t2+1)2\int \operatorname{atan}{\left(t \right)}\, dt = C + t \operatorname{atan}{\left(t \right)} - \frac{\log{\left(t^{2} + 1 \right)}}{2}
Simplificar
Respuesta [src] 
     /     2\            
  log\1 + t /            
- ----------- + t*atan(t)
       2
tatan⁡(t)−log⁡(t2+1)2t \operatorname{atan}{\left(t \right)} - \frac{\log{\left(t^{2} + 1 \right)}}{2} 
=
= 
     /     2\            
  log\1 + t /            
- ----------- + t*atan(t)
       2
tatan⁡(t)−log⁡(t2+1)2t \operatorname{atan}{\left(t \right)} - \frac{\log{\left(t^{2} + 1 \right)}}{2} 
-log(1 + t^2)/2 + t*atan(t)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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