Integral de xe^(-3x)cos(5x) dx

Solución

Ha introducido [src]

 oo                    
  /                    
 |                     
 |     -3*x            
 |  x*E    *cos(5*x) dx
 |                     
/                      
0

$$\int\limits_{0}^{\infty} e^{- 3 x} x \cos{\left(5 x \right)}\, dx$$

Integral((x*E^(-3*x))*cos(5*x), (x, 0, oo))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
  1. Para el integrando $e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}$ :
    
    que $u{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 3 x}$ .
    
    Entonces $\int e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}\, dx = - \int \frac{5 e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{3}\, dx - \frac{e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{3}$ .
  2. Para el integrando $\frac{5 e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{3}$ :
    
    que $u{\left(x \right)} = \frac{5 \sin{\left(5 x \right)}}{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 3 x}$ .
    
    Entonces $\int e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}\, dx = \int \left(- \frac{25 e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{9}\right)\, dx + \frac{5 e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{9} - \frac{e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{3}$ .
  3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
    
    $\frac{34 \int e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}\, dx}{9} = \frac{5 e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{9} - \frac{e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{3}$
    
    Por lo tanto,
    
    $\int e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}\, dx = \frac{5 e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{34} - \frac{3 e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{34}$
Ahora resolvemos podintegral.
Integramos término a término:
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \frac{5 e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{34}\, dx = \frac{5 \int e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}\, dx}{34}$
  1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
    1. Para el integrando $e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 3 x}$ .
      
      Entonces $\int e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}\, dx = - \int \left(- \frac{5 e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{3}\right)\, dx - \frac{e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{3}$ .
    2. Para el integrando $- \frac{5 e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{3}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = - \frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 3 x}$ .
      
      Entonces $\int e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}\, dx = \int \left(- \frac{25 e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{9}\right)\, dx - \frac{e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{3} - \frac{5 e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{9}$ .
    3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
      
      $\frac{34 \int e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}\, dx}{9} = - \frac{e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{3} - \frac{5 e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{9}$
      
      Por lo tanto,
      
      $\int e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}\, dx = - \frac{3 e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{34} - \frac{5 e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{34}$
  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{15 e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{1156} - \frac{25 e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{1156}$
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \left(- \frac{3 e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{34}\right)\, dx = - \frac{3 \int e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}\, dx}{34}$
  1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
    1. Para el integrando $e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 3 x}$ .
      
      Entonces $\int e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}\, dx = - \int \frac{5 e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{3}\, dx - \frac{e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{3}$ .
    2. Para el integrando $\frac{5 e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{3}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = \frac{5 \sin{\left(5 x \right)}}{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 3 x}$ .
      
      Entonces $\int e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}\, dx = \int \left(- \frac{25 e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{9}\right)\, dx + \frac{5 e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{9} - \frac{e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{3}$ .
    3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
      
      $\frac{34 \int e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}\, dx}{9} = \frac{5 e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{9} - \frac{e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto,
      
      $\int e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}\, dx = \frac{5 e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{34} - \frac{3 e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{34}$
  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{15 e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{1156} + \frac{9 e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{1156}$
El resultado es: $- \frac{15 e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{578} - \frac{4 e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{289}$
Ahora simplificar:

$\frac{\left(85 x \sin{\left(5 x \right)} - 51 x \cos{\left(5 x \right)} + 15 \sin{\left(5 x \right)} + 8 \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{- 3 x}}{578}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\left(85 x \sin{\left(5 x \right)} - 51 x \cos{\left(5 x \right)} + 15 \sin{\left(5 x \right)} + 8 \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{- 3 x}}{578}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(85 x \sin{\left(5 x \right)} - 51 x \cos{\left(5 x \right)} + 15 \sin{\left(5 x \right)} + 8 \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{- 3 x}}{578}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                                                          
 |                             /              -3*x      -3*x         \               -3*x       -3*x         
 |    -3*x                     |  3*cos(5*x)*e       5*e    *sin(5*x)|   4*cos(5*x)*e       15*e    *sin(5*x)
 | x*E    *cos(5*x) dx = C + x*|- ---------------- + ----------------| + ---------------- + -----------------
 |                             \         34                 34       /         289                 578       
/

$$\int e^{- 3 x} x \cos{\left(5 x \right)}\, dx = C + x \left(\frac{5 e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{34} - \frac{3 e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{34}\right) + \frac{15 e^{- 3 x} \sin{\left(5 x \right)}}{578} + \frac{4 e^{- 3 x} \cos{\left(5 x \right)}}{289}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

-4/289

$$- \frac{4}{289}$$

-4/289

$$- \frac{4}{289}$$

-4/289

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de xe^(-3x)cos(5x) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución