Integral de cos^2(3pi/2+x/4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\cos^{2}{\left(\frac{x}{4} + \frac{3 \pi}{2} \right)} = \sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{2}$

         1. que $u = \frac{x}{2}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

      El resultado es: $\frac{x}{2} - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\cos^{2}{\left(\frac{x}{4} + \frac{3 \pi}{2} \right)} = \sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{2}$

         1. que $u = \frac{x}{2}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

      El resultado es: $\frac{x}{2} - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x}{2} - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{2} - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$