Integral de (9+x^2)^9*x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2} + 9$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{9}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{9}\, du = \frac{\int u^{9}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{10}}{20}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{2} + 9\right)^{10}}{20}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(x^{2} + 9\right)^{9} = x^{19} + 81 x^{17} + 2916 x^{15} + 61236 x^{13} + 826686 x^{11} + 7440174 x^{9} + 44641044 x^{7} + 172186884 x^{5} + 387420489 x^{3} + 387420489 x$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 81 x^{17}\, dx = 81 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 x^{18}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2916 x^{15}\, dx = 2916 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{729 x^{16}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 61236 x^{13}\, dx = 61236 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4374 x^{14}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 826686 x^{11}\, dx = 826686 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{137781 x^{12}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7440174 x^{9}\, dx = 7440174 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3720087 x^{10}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 44641044 x^{7}\, dx = 44641044 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{11160261 x^{8}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 172186884 x^{5}\, dx = 172186884 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $28697814 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 387420489 x^{3}\, dx = 387420489 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{387420489 x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 387420489 x\, dx = 387420489 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{387420489 x^{2}}{2}$

      El resultado es: $\frac{x^{20}}{20} + \frac{9 x^{18}}{2} + \frac{729 x^{16}}{4} + 4374 x^{14} + \frac{137781 x^{12}}{2} + \frac{3720087 x^{10}}{5} + \frac{11160261 x^{8}}{2} + 28697814 x^{6} + \frac{387420489 x^{4}}{4} + \frac{387420489 x^{2}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} + 9\right)^{10}}{20}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} + 9\right)^{10}}{20}+ \mathrm{constant}$