Integral de (3x+1)e^(5x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{5 x} \left(3 x + 1\right) = 3 x e^{5 x} + e^{5 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x e^{5 x}\, dx = 3 \int x e^{5 x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{5 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 5 x$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{5 x}}{5}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{5 x}}{5}\, dx = \frac{\int e^{5 x}\, dx}{5}$

            1. que $u = 5 x$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{5 x}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{5 x}}{25}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x e^{5 x}}{5} - \frac{3 e^{5 x}}{25}$

      1. que $u = 5 x$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{5 x}}{5}$

      El resultado es: $\frac{3 x e^{5 x}}{5} + \frac{2 e^{5 x}}{25}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{5 x} \left(3 x + 1\right) = 3 x e^{5 x} + e^{5 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x e^{5 x}\, dx = 3 \int x e^{5 x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{5 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = 5 x$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{5 x}}{5}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{5 x}}{5}\, dx = \frac{\int e^{5 x}\, dx}{5}$

            1. que $u = 5 x$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{5 x}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{5 x}}{25}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x e^{5 x}}{5} - \frac{3 e^{5 x}}{25}$

      1. que $u = 5 x$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{5 x}}{5}$

      El resultado es: $\frac{3 x e^{5 x}}{5} + \frac{2 e^{5 x}}{25}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(15 x + 2\right) e^{5 x}}{25}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(15 x + 2\right) e^{5 x}}{25}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(15 x + 2\right) e^{5 x}}{25}+ \mathrm{constant}$