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Resolución de integrales/ (x^2)/ sin(5x)/ ((x^2)-4)*sin(5x)

Integral de ((x^2)-4)*sin(5x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
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 |  \x  - 4/*sin(5*x) dx
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0
∫01(x2−4)sin⁡(5x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(x^{2} - 4\right) \sin{\left(5 x \right)}\, dx 
Integral((x^2 - 4)*sin(5*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x2−4)sin⁡(5x)=x2sin⁡(5x)−4sin⁡(5x)\left(x^{2} - 4\right) \sin{\left(5 x \right)} = x^{2} \sin{\left(5 x \right)} - 4 \sin{\left(5 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=−2x5u{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{5} y que dv⁡(x)=cos⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=−25\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{5}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(5x)25) dx=−2∫sin⁡(5x) dx25\int \left(- \frac{2 \sin{\left(5 x \right)}}{25}\right)\, dx = - \frac{2 \int \sin{\left(5 x \right)}\, dx}{25}

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(5x)125\frac{2 \cos{\left(5 x \right)}}{125}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4sin⁡(5x)) dx=−4∫sin⁡(5x) dx\int \left(- 4 \sin{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin{\left(5 x \right)}\, dx

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 4cos⁡(5x)5\frac{4 \cos{\left(5 x \right)}}{5}

      El resultado es: −x2cos⁡(5x)5+2xsin⁡(5x)25+102cos⁡(5x)125- \frac{x^{2} \cos{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{2 x \sin{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{102 \cos{\left(5 x \right)}}{125}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x2−4u{\left(x \right)} = x^{2} - 4 y que dv⁡(x)=sin⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=5xu = 5 x.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−2x5u{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{5} y que dv⁡(x)=cos⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−25\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{5}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=5xu = 5 x.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2sin⁡(5x)25) dx=−2∫sin⁡(5x) dx25\int \left(- \frac{2 \sin{\left(5 x \right)}}{25}\right)\, dx = - \frac{2 \int \sin{\left(5 x \right)}\, dx}{25}

      1. que u=5xu = 5 x.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(5x)125\frac{2 \cos{\left(5 x \right)}}{125}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x2−4)sin⁡(5x)=x2sin⁡(5x)−4sin⁡(5x)\left(x^{2} - 4\right) \sin{\left(5 x \right)} = x^{2} \sin{\left(5 x \right)} - 4 \sin{\left(5 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=−2x5u{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{5} y que dv⁡(x)=cos⁡(5x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=−25\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{5}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(5x)5\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(5x)25) dx=−2∫sin⁡(5x) dx25\int \left(- \frac{2 \sin{\left(5 x \right)}}{25}\right)\, dx = - \frac{2 \int \sin{\left(5 x \right)}\, dx}{25}

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(5x)125\frac{2 \cos{\left(5 x \right)}}{125}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4sin⁡(5x)) dx=−4∫sin⁡(5x) dx\int \left(- 4 \sin{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin{\left(5 x \right)}\, dx

        1. que u=5xu = 5 x.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(5x)5- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 4cos⁡(5x)5\frac{4 \cos{\left(5 x \right)}}{5}

      El resultado es: −x2cos⁡(5x)5+2xsin⁡(5x)25+102cos⁡(5x)125- \frac{x^{2} \cos{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{2 x \sin{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{102 \cos{\left(5 x \right)}}{125}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −x2cos⁡(5x)5+2xsin⁡(5x)25+102cos⁡(5x)125+constant- \frac{x^{2} \cos{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{2 x \sin{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{102 \cos{\left(5 x \right)}}{125}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x2cos⁡(5x)5+2xsin⁡(5x)25+102cos⁡(5x)125+constant- \frac{x^{2} \cos{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{2 x \sin{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{102 \cos{\left(5 x \right)}}{125}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                    
 |                                            2                        
 | / 2    \                   102*cos(5*x)   x *cos(5*x)   2*x*sin(5*x)
 | \x  - 4/*sin(5*x) dx = C + ------------ - ----------- + ------------
 |                                125             5             25     
/
∫(x2−4)sin⁡(5x) dx=C−x2cos⁡(5x)5+2xsin⁡(5x)25+102cos⁡(5x)125\int \left(x^{2} - 4\right) \sin{\left(5 x \right)}\, dx = C - \frac{x^{2} \cos{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{2 x \sin{\left(5 x \right)}}{25} + \frac{102 \cos{\left(5 x \right)}}{125}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  102   2*sin(5)   77*cos(5)
- --- + -------- + ---------
  125      25         125
−102125+2sin⁡(5)25+77cos⁡(5)125- \frac{102}{125} + \frac{2 \sin{\left(5 \right)}}{25} + \frac{77 \cos{\left(5 \right)}}{125} 
=
= 
  102   2*sin(5)   77*cos(5)
- --- + -------- + ---------
  125      25         125
−102125+2sin⁡(5)25+77cos⁡(5)125- \frac{102}{125} + \frac{2 \sin{\left(5 \right)}}{25} + \frac{77 \cos{\left(5 \right)}}{125} 
-102/125 + 2*sin(5)/25 + 77*cos(5)/125
Respuesta numérica [src] 
-0.717978035727704
-0.717978035727704

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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