Integral de sin(2*x)/(2+cos(2*x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \cos{\left(u \right)} + 4}\, du$

      1. que $u = 2 \cos{\left(u \right)} + 4$.

         Luego que $du = - 2 \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(2 \cos{\left(u \right)} + 4 \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(2 \cos{\left(2 x \right)} + 4 \right)}}{2}$

   Método #2

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)} + 2}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)} + 2}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)} + 2} = \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}$

      2. que $u = 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1$.

         Luego que $du = - 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

         $\int \left(- \frac{1}{4 u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(2 \cos{\left(2 x \right)} + 4 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(2 \cos{\left(2 x \right)} + 4 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$