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¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de (-6+9*x^2)/x^2
Integral de 3*exp(-3*x)
Integral de (3x+1)dx
Integral de √(2+x^2)
Expresiones idénticas
sin^ dos (x/ cuatro)+cos^ seis (x/ cuatro)
seno de al cuadrado (x dividir por 4) más coseno de en el grado 6(x dividir por 4)
seno de en el grado dos (x dividir por cuatro) más coseno de en el grado seis (x dividir por cuatro)
sin2(x/4)+cos6(x/4)
sin2x/4+cos6x/4
sin²(x/4)+cos⁶(x/4)
sin en el grado 2(x/4)+cos en el grado 6(x/4)
sin^2x/4+cos^6x/4
sin^2(x dividir por 4)+cos^6(x dividir por 4)
sin^2(x/4)+cos^6(x/4)dx
Expresiones semejantes
sin^2(x/4)-cos^6(x/4)
Expresiones con funciones
Seno sin
sin(x)/(x^3+1)
sin(x)x^2
sin(x)/(sqrt(1-x^2))
sin(x)×sin(x)×sin(x)
sin(x)sin(x)cos(x)
Coseno cos
cos(x)*sin(x)
cos(x)/(sin(x)^2)
cos(x)/sin^7(x)
cos(x)/sin(x+1)^2
cos(x)/(sin(x)+1/2)^(2/3)

Resolución de integrales/ sin^2/ cos^6/ sin^2(x/4)+cos^6(x/4)

Integral de sin^2(x/4)+cos^6(x/4) dx

Solución

Ha introducido [src]

 2*pi                      
   /                       
  |                        
  |  /   2/x\      6/x\\   
  |  |sin |-| + cos |-|| dx
  |  \    \4/       \4//   
  |                        
 /                         
 0

$$\int\limits_{0}^{2 \pi} \left(\sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} + \cos^{6}{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)\, dx$$

Integral(sin(x/4)^2 + cos(x/4)^6, (x, 0, 2*pi))

Solución detallada

Integramos término a término:
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{2}$
    1. que $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$ :
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du$
      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
        
        La integral del coseno es seno:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
        
        Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  El resultado es: $\frac{x}{2} - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\cos^{6}{\left(\frac{x}{4} \right)} = \left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3}$
2. Hay varias maneras de calcular esta integral.
  Método #1
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{\cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8} + \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{8}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Hay varias maneras de calcular esta integral.
      
      Método #1
      
      que $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(2 - 2 u^{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 2\, du = 2 u$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du = - 2 \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3}$
      
      El resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3} + 2 u$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Método #2
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ y ponemos $2 du$ :
      
      $\int 2 u^{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$
      
      que $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$ :
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      El resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Método #3
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ y ponemos $2 du$ :
      
      $\int 2 u^{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$
      
      que $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$ :
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      El resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{8}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{16}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{8}$
      
      que $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$ :
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4}$
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
    El resultado es: $\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{12} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{16}$
  Método #2
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{\cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8} + \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{8}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      que $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(2 - 2 u^{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 2\, du = 2 u$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du = - 2 \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3}$
      
      El resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3} + 2 u$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{8}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{16}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{8}$
      
      que $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$ :
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4}$
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
    El resultado es: $\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{12} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{16}$
El resultado es: $\frac{13 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{12} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{16}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{13 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{12} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{13 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{12} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                3/x\                  
 |                              sin |-|                  
 | /   2/x\      6/x\\              \2/   3*sin(x)   13*x
 | |sin |-| + cos |-|| dx = C - ------- + -------- + ----
 | \    \4/       \4//             12        16       16 
 |                                                       
/

$$\int \left(\sin^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} + \cos^{6}{\left(\frac{x}{4} \right)}\right)\, dx = C + \frac{13 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{12} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{16}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

13*pi
-----
  8

$$\frac{13 \pi}{8}$$

13*pi
-----
  8

$$\frac{13 \pi}{8}$$

13*pi/8

Respuesta numérica [src]

5.10508806208341

5.10508806208341

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de sin^2(x/4)+cos^6(x/4) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #1

Método #2

Método #3

Método #2