Integral de 4x^3-sinx+cosx-e^x dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- e^{x}\right)\, dx = - \int e^{x}\, dx$

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- e^{x}$

   1. Integramos término a término:

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 x^{3}\, dx = 4 \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $x^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\cos{\left(x \right)}$

         El resultado es: $x^{4} + \cos{\left(x \right)}$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      El resultado es: $x^{4} + \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   El resultado es: $x^{4} - e^{x} + \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $x^{4} - e^{x} + \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x^{4} - e^{x} + \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{4} - e^{x} + \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$